Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68460 / 72396
↖ ↑ ↗
← S 18.510865°
E  8.031006°		 ← 289.62 m → S 18.510865°
E  8.033752°		 →
↑
289.63 m
↓
↑
289.63 m
↓
S 18.513470°
E  8.031006°		 ← 289.62 m →
83 882 m²		 S 18.513470°
E  8.033752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522312164306641 y=0.552341461181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522312164306641 × 217)
    floor (0.522312164306641 × 131072)
    floor (68460.5)     		tx = 68460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552341461181641 × 217)
    floor (0.552341461181641 × 131072)
    floor (72396.5)     		ty = 72396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68460 / 72396 ti = "17/68460/72396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68460/72396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68460 ÷ 217
    68460 ÷ 131072     		x = 0.522308349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72396 ÷ 217
    72396 ÷ 131072     		y = 0.552337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522308349609375 × 2 - 1) × π
    0.04461669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14016749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.10467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.328847131393585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14016749} λ = 0.14016749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328847131393585))-π/2
    2×atan(0.719753035981191)-π/2
    2×0.623860386392825-π/2
    1.24772077278565-1.57079632675     		φ = -0.32307555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14016749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.031006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32307555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.510865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68460 KachelY 72396 0.14016749 -0.32307555 8.031006 -18.510865
    Oben rechts KachelX + 1 68461 KachelY 72396 0.14021543 -0.32307555 8.033752 -18.510865
    Unten links KachelX 68460 KachelY + 1 72397 0.14016749 -0.32312101 8.031006 -18.513470
    Unten rechts KachelX + 1 68461 KachelY + 1 72397 0.14021543 -0.32312101 8.033752 -18.513470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32307555--0.32312101) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dl = 289.625659999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32307555--0.32312101) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dr = 289.625659999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14016749-0.14021543) × cos(-0.32307555) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948263465013073 × 6371000     		do = 289.62407051656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14016749-0.14021543) × cos(-0.32312101) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94824903118835 × 6371000     		du = 289.619662054963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32307555)-sin(-0.32312101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948263465013073-0.94824903118835)×R²
    abs(0.14021543-0.14016749)×1.44338247229925e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44338247229925e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44338247229925e-05×40589641000000     		ar = 83881.9241879023m²