Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6846 / 1869
↖ ↑ ↗
← N 79.885879°
W 29.575196°		 ← 429.06 m → N 79.885879°
W 29.553223°		 →
↑
429.15 m
↓
↑
429.15 m
↓
N 79.882020°
W 29.575196°		 ← 429.22 m →
184 167 m²		 N 79.882020°
W 29.553223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417877197265625 y=0.114105224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417877197265625 × 214)
    floor (0.417877197265625 × 16384)
    floor (6846.5)     		tx = 6846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114105224609375 × 214)
    floor (0.114105224609375 × 16384)
    floor (1869.5)     		ty = 1869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6846 / 1869 ti = "14/6846/1869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6846/1869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6846 ÷ 214
    6846 ÷ 16384     		x = 0.4178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1869 ÷ 214
    1869 ÷ 16384     		y = 0.11407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11407470703125 × 2 - 1) × π
    0.7718505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42484013038092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51618454} λ = -0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42484013038092))-π/2
    2×atan(11.3004226805927)-π/2
    2×1.48253397317488-π/2
    2.96506794634977-1.57079632675     		φ = 1.39427162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39427162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.885879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6846 KachelY 1869 -0.51618454 1.39427162 -29.575196 79.885879
    Oben rechts KachelX + 1 6847 KachelY 1869 -0.51580104 1.39427162 -29.553223 79.885879
    Unten links KachelX 6846 KachelY + 1 1870 -0.51618454 1.39420426 -29.575196 79.882020
    Unten rechts KachelX + 1 6847 KachelY + 1 1870 -0.51580104 1.39420426 -29.553223 79.882020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39427162-1.39420426) × R
    6.73600000000718e-05 × 6371000     		dl = 429.150560000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39427162-1.39420426) × R
    6.73600000000718e-05 × 6371000     		dr = 429.150560000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51618454--0.51580104) × cos(1.39427162) × R
    0.000383499999999981 × 0.17560935387961 × 6371000     		do = 429.062558732922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51618454--0.51580104) × cos(1.39420426) × R
    0.000383499999999981 × 0.175675666702079 × 6371000     		du = 429.224579426333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39427162)-sin(1.39420426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17560935387961-0.175675666702079)×R²
    abs(-0.51580104--0.51618454)×6.63128224685228e-05×R²
    0.000383499999999981×6.63128224685228e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.63128224685228e-05×40589641000000     		ar = 184167.203060558m²