Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6846 / 1598
↖ ↑ ↗
← N 80.879796°
W 29.575196°		 ← 387.27 m → N 80.879796°
W 29.553223°		 →
↑
387.36 m
↓
↑
387.36 m
↓
N 80.876312°
W 29.575196°		 ← 387.42 m →
150 042 m²		 N 80.876312°
W 29.553223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417877197265625 y=0.097564697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417877197265625 × 214)
    floor (0.417877197265625 × 16384)
    floor (6846.5)     		tx = 6846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.097564697265625 × 214)
    floor (0.097564697265625 × 16384)
    floor (1598.5)     		ty = 1598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6846 / 1598 ti = "14/6846/1598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6846/1598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6846 ÷ 214
    6846 ÷ 16384     		x = 0.4178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1598 ÷ 214
    1598 ÷ 16384     		y = 0.0975341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0975341796875 × 2 - 1) × π
    0.804931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5287673287572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51618454} λ = -0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5287673287572))-π/2
    2×atan(12.5380413241303)-π/2
    2×1.49120752795099-π/2
    2.98241505590198-1.57079632675     		φ = 1.41161873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41161873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.879796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6846 KachelY 1598 -0.51618454 1.41161873 -29.575196 80.879796
    Oben rechts KachelX + 1 6847 KachelY 1598 -0.51580104 1.41161873 -29.553223 80.879796
    Unten links KachelX 6846 KachelY + 1 1599 -0.51618454 1.41155793 -29.575196 80.876312
    Unten rechts KachelX + 1 6847 KachelY + 1 1599 -0.51580104 1.41155793 -29.553223 80.876312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41161873-1.41155793) × R
    6.0799999999972e-05 × 6371000     		dl = 387.356799999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41161873-1.41155793) × R
    6.0799999999972e-05 × 6371000     		dr = 387.356799999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51618454--0.51580104) × cos(1.41161873) × R
    0.000383499999999981 × 0.158506253946558 × 6371000     		do = 387.274922383147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51618454--0.51580104) × cos(1.41155793) × R
    0.000383499999999981 × 0.158566285018328 × 6371000     		du = 387.421595010134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41161873)-sin(1.41155793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158506253946558-0.158566285018328)×R²
    abs(-0.51580104--0.51618454)×6.00310717699948e-05×R²
    0.000383499999999981×6.00310717699948e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.00310717699948e-05×40589641000000     		ar = 150041.982019986m²