Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68459 / 69417
↖ ↑ ↗
← S 10.598521°
E  8.028259°		 ← 300.15 m → S 10.598521°
E  8.031006°		 →
↑
300.20 m
↓
↑
300.20 m
↓
S 10.601220°
E  8.028259°		 ← 300.15 m →
90 106 m²		 S 10.601220°
E  8.031006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522304534912109 y=0.529613494873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522304534912109 × 217)
    floor (0.522304534912109 × 131072)
    floor (68459.5)     		tx = 68459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529613494873047 × 217)
    floor (0.529613494873047 × 131072)
    floor (69417.5)     		ty = 69417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68459 / 69417 ti = "17/68459/69417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68459/69417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68459 ÷ 217
    68459 ÷ 131072     		x = 0.522300720214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69417 ÷ 217
    69417 ÷ 131072     		y = 0.529609680175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522300720214844 × 2 - 1) × π
    0.0446014404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14011956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529609680175781 × 2 - 1) × π
    -0.0592193603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.186043107425438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14011956} λ = 0.14011956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.186043107425438))-π/2
    2×atan(0.830237804796261)-π/2
    2×0.692908623487726-π/2
    1.38581724697545-1.57079632675     		φ = -0.18497908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14011956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.028259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18497908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.598521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68459 KachelY 69417 0.14011956 -0.18497908 8.028259 -10.598521
    Oben rechts KachelX + 1 68460 KachelY 69417 0.14016749 -0.18497908 8.031006 -10.598521
    Unten links KachelX 68459 KachelY + 1 69418 0.14011956 -0.18502620 8.028259 -10.601220
    Unten rechts KachelX + 1 68460 KachelY + 1 69418 0.14016749 -0.18502620 8.031006 -10.601220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18497908--0.18502620) × R
    4.71200000000116e-05 × 6371000     		dl = 300.201520000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18497908--0.18502620) × R
    4.71200000000116e-05 × 6371000     		dr = 300.201520000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14011956-0.14016749) × cos(-0.18497908) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.982940098576623 × 6371000     		do = 300.152583869768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14011956-0.14016749) × cos(-0.18502620) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98293143089369 × 6371000     		du = 300.149937088512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18497908)-sin(-0.18502620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982940098576623-0.98293143089369)×R²
    abs(0.14016749-0.14011956)×8.66768293317222e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.66768293317222e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.66768293317222e-06×40589641000000     		ar = 90105.8646424268m²