Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68457 / 72632
↖ ↑ ↗
← S 19.124409°
E  8.022766°		 ← 288.57 m → S 19.124409°
E  8.025513°		 →
↑
288.54 m
↓
↑
288.54 m
↓
S 19.127004°
E  8.022766°		 ← 288.56 m →
83 264 m²		 S 19.127004°
E  8.025513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522289276123047 y=0.554141998291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522289276123047 × 217)
    floor (0.522289276123047 × 131072)
    floor (68457.5)     		tx = 68457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554141998291016 × 217)
    floor (0.554141998291016 × 131072)
    floor (72632.5)     		ty = 72632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68457 / 72632 ti = "17/68457/72632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68457/72632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68457 ÷ 217
    68457 ÷ 131072     		x = 0.522285461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72632 ÷ 217
    72632 ÷ 131072     		y = 0.55413818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522285461425781 × 2 - 1) × π
    0.0445709228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14002368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55413818359375 × 2 - 1) × π
    -0.1082763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.340160239703918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14002368} λ = 0.14002368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.340160239703918))-π/2
    2×atan(0.711656278034323)-π/2
    2×0.618506206519613-π/2
    1.23701241303923-1.57079632675     		φ = -0.33378391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14002368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.022766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33378391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.124409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68457 KachelY 72632 0.14002368 -0.33378391 8.022766 -19.124409
    Oben rechts KachelX + 1 68458 KachelY 72632 0.14007162 -0.33378391 8.025513 -19.124409
    Unten links KachelX 68457 KachelY + 1 72633 0.14002368 -0.33382920 8.022766 -19.127004
    Unten rechts KachelX + 1 68458 KachelY + 1 72633 0.14007162 -0.33382920 8.025513 -19.127004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33378391--0.33382920) × R
    4.52899999999756e-05 × 6371000     		dl = 288.542589999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33378391--0.33382920) × R
    4.52899999999756e-05 × 6371000     		dr = 288.542589999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14002368-0.14007162) × cos(-0.33378391) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94480942410163 × 6371000     		do = 288.569117515192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14002368-0.14007162) × cos(-0.33382920) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944794585202958 × 6371000     		du = 288.564585333584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33378391)-sin(-0.33382920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94480942410163-0.944794585202958)×R²
    abs(0.14007162-0.14002368)×1.48388986717096e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.48388986717096e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.48388986717096e-05×40589641000000     		ar = 83263.8267123489m²