Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68457 / 69463
↖ ↑ ↗
← S 10.722683°
E  8.022766°		 ← 300.09 m → S 10.722683°
E  8.025513°		 →
↑
300.07 m
↓
↑
300.07 m
↓
S 10.725381°
E  8.022766°		 ← 300.09 m →
90 050 m²		 S 10.725381°
E  8.025513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522289276123047 y=0.529964447021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522289276123047 × 217)
    floor (0.522289276123047 × 131072)
    floor (68457.5)     		tx = 68457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529964447021484 × 217)
    floor (0.529964447021484 × 131072)
    floor (69463.5)     		ty = 69463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68457 / 69463 ti = "17/68457/69463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68457/69463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68457 ÷ 217
    68457 ÷ 131072     		x = 0.522285461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69463 ÷ 217
    69463 ÷ 131072     		y = 0.529960632324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522285461425781 × 2 - 1) × π
    0.0445709228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14002368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529960632324219 × 2 - 1) × π
    -0.0599212646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.188248204807961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14002368} λ = 0.14002368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.188248204807961))-π/2
    2×atan(0.828409066599951)-π/2
    2×0.691825104755449-π/2
    1.3836502095109-1.57079632675     		φ = -0.18714612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14002368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.022766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18714612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.722683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68457 KachelY 69463 0.14002368 -0.18714612 8.022766 -10.722683
    Oben rechts KachelX + 1 68458 KachelY 69463 0.14007162 -0.18714612 8.025513 -10.722683
    Unten links KachelX 68457 KachelY + 1 69464 0.14002368 -0.18719322 8.022766 -10.725381
    Unten rechts KachelX + 1 68458 KachelY + 1 69464 0.14007162 -0.18719322 8.025513 -10.725381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18714612--0.18719322) × R
    4.70999999999944e-05 × 6371000     		dl = 300.074099999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18714612--0.18719322) × R
    4.70999999999944e-05 × 6371000     		dr = 300.074099999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14002368-0.14007162) × cos(-0.18714612) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982539215980453 × 6371000     		do = 300.092767119827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14002368-0.14007162) × cos(-0.18719322) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982530451671508 × 6371000     		du = 300.090090274282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18714612)-sin(-0.18719322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982539215980453-0.982530451671508)×R²
    abs(0.14007162-0.14002368)×8.7643089446976e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.7643089446976e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.7643089446976e-06×40589641000000     		ar = 90049.6654006091m²