Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68456 / 72667
↖ ↑ ↗
← S 19.215209°
E  8.020020°		 ← 288.35 m → S 19.215209°
E  8.022766°		 →
↑
288.42 m
↓
↑
288.42 m
↓
S 19.217803°
E  8.020020°		 ← 288.35 m →
83 164 m²		 S 19.217803°
E  8.022766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522281646728516 y=0.554409027099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522281646728516 × 217)
    floor (0.522281646728516 × 131072)
    floor (68456.5)     		tx = 68456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554409027099609 × 217)
    floor (0.554409027099609 × 131072)
    floor (72667.5)     		ty = 72667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68456 / 72667 ti = "17/68456/72667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68456/72667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68456 ÷ 217
    68456 ÷ 131072     		x = 0.52227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72667 ÷ 217
    72667 ÷ 131072     		y = 0.554405212402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52227783203125 × 2 - 1) × π
    0.0445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13997575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554405212402344 × 2 - 1) × π
    -0.108810424804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.34183803119062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13997575} λ = 0.13997575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.34183803119062))-π/2
    2×atan(0.710463268280242)-π/2
    2×0.617713828045068-π/2
    1.23542765609014-1.57079632675     		φ = -0.33536867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13997575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.020020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33536867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.215209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68456 KachelY 72667 0.13997575 -0.33536867 8.020020 -19.215209
    Oben rechts KachelX + 1 68457 KachelY 72667 0.14002368 -0.33536867 8.022766 -19.215209
    Unten links KachelX 68456 KachelY + 1 72668 0.13997575 -0.33541394 8.020020 -19.217803
    Unten rechts KachelX + 1 68457 KachelY + 1 72668 0.14002368 -0.33541394 8.022766 -19.217803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33536867--0.33541394) × R
    4.52700000000417e-05 × 6371000     		dl = 288.415170000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33536867--0.33541394) × R
    4.52700000000417e-05 × 6371000     		dr = 288.415170000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13997575-0.14002368) × cos(-0.33536867) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944289038124555 × 6371000     		do = 288.350017588471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13997575-0.14002368) × cos(-0.33541394) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944274138015736 × 6371000     		du = 288.345467660995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33536867)-sin(-0.33541394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944289038124555-0.944274138015736)×R²
    abs(0.14002368-0.13997575)×1.49001088195488e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.49001088195488e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.49001088195488e-05×40589641000000     		ar = 83163.8632225256m²