Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68454 / 43717
↖ ↑ ↗
← N 51.280816°
E  8.014526°		 ← 191.04 m → N 51.280816°
E  8.017273°		 →
↑
191 m
↓
↑
191 m
↓
N 51.279099°
E  8.014526°		 ← 191.05 m →
36 491 m²		 N 51.279099°
E  8.017273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522266387939453 y=0.333538055419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522266387939453 × 217)
    floor (0.522266387939453 × 131072)
    floor (68454.5)     		tx = 68454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333538055419922 × 217)
    floor (0.333538055419922 × 131072)
    floor (43717.5)     		ty = 43717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68454 / 43717 ti = "17/68454/43717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68454/43717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68454 ÷ 217
    68454 ÷ 131072     		x = 0.522262573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43717 ÷ 217
    43717 ÷ 131072     		y = 0.333534240722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522262573242188 × 2 - 1) × π
    0.044525146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13987987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333534240722656 × 2 - 1) × π
    0.332931518554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.04593521281001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13987987} λ = 0.13987987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04593521281001))-π/2
    2×atan(2.84605895021363)-π/2
    2×1.23290771079788-π/2
    2.46581542159575-1.57079632675     		φ = 0.89501909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13987987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.014526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89501909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.280816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68454 KachelY 43717 0.13987987 0.89501909 8.014526 51.280816
    Oben rechts KachelX + 1 68455 KachelY 43717 0.13992781 0.89501909 8.017273 51.280816
    Unten links KachelX 68454 KachelY + 1 43718 0.13987987 0.89498911 8.014526 51.279099
    Unten rechts KachelX + 1 68455 KachelY + 1 43718 0.13992781 0.89498911 8.017273 51.279099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89501909-0.89498911) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dl = 191.002579999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89501909-0.89498911) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dr = 191.002579999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13987987-0.13992781) × cos(0.89501909) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625503922085759 × 6371000     		do = 191.044998276041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13987987-0.13992781) × cos(0.89498911) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625527312830899 × 6371000     		du = 191.052142411685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89501909)-sin(0.89498911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625503922085759-0.625527312830899)×R²
    abs(0.13992781-0.13987987)×2.33907451400173e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33907451400173e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33907451400173e-05×40589641000000     		ar = 36490.7698435996m²