Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68453 / 72676
↖ ↑ ↗
← S 19.238550°
E  8.011780°		 ← 288.31 m → S 19.238550°
E  8.014526°		 →
↑
288.35 m
↓
↑
288.35 m
↓
S 19.241143°
E  8.011780°		 ← 288.30 m →
83 134 m²		 S 19.241143°
E  8.014526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522258758544922 y=0.554477691650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522258758544922 × 217)
    floor (0.522258758544922 × 131072)
    floor (68453.5)     		tx = 68453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554477691650391 × 217)
    floor (0.554477691650391 × 131072)
    floor (72676.5)     		ty = 72676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68453 / 72676 ti = "17/68453/72676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68453/72676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68453 ÷ 217
    68453 ÷ 131072     		x = 0.522254943847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72676 ÷ 217
    72676 ÷ 131072     		y = 0.554473876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522254943847656 × 2 - 1) × π
    0.0445098876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13983194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.10894775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.342269463287201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13983194} λ = 0.13983194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.342269463287201))-π/2
    2×atan(0.710156817733919)-π/2
    2×0.617510144212061-π/2
    1.23502028842412-1.57079632675     		φ = -0.33577604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13983194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.011780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33577604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.238550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68453 KachelY 72676 0.13983194 -0.33577604 8.011780 -19.238550
    Oben rechts KachelX + 1 68454 KachelY 72676 0.13987987 -0.33577604 8.014526 -19.238550
    Unten links KachelX 68453 KachelY + 1 72677 0.13983194 -0.33582130 8.011780 -19.241143
    Unten rechts KachelX + 1 68454 KachelY + 1 72677 0.13987987 -0.33582130 8.014526 -19.241143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33577604--0.33582130) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dl = 288.351459999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33577604--0.33582130) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dr = 288.351459999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13983194-0.13987987) × cos(-0.33577604) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944154887251751 × 6371000     		do = 288.309053005625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13983194-0.13987987) × cos(-0.33582130) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944139973025514 × 6371000     		du = 288.304498767226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33577604)-sin(-0.33582130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944154887251751-0.944139973025514)×R²
    abs(0.13987987-0.13983194)×1.49142262367841e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.49142262367841e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.49142262367841e-05×40589641000000     		ar = 83133.6797688838m²