Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68451 / 72291
↖ ↑ ↗
← S 18.237177°
E  8.006286°		 ← 290.08 m → S 18.237177°
E  8.009033°		 →
↑
290.07 m
↓
↑
290.07 m
↓
S 18.239786°
E  8.006286°		 ← 290.08 m →
84 144 m²		 S 18.239786°
E  8.009033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522243499755859 y=0.551540374755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522243499755859 × 217)
    floor (0.522243499755859 × 131072)
    floor (68451.5)     		tx = 68451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551540374755859 × 217)
    floor (0.551540374755859 × 131072)
    floor (72291.5)     		ty = 72291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68451 / 72291 ti = "17/68451/72291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68451/72291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68451 ÷ 217
    68451 ÷ 131072     		x = 0.522239685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72291 ÷ 217
    72291 ÷ 131072     		y = 0.551536560058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522239685058594 × 2 - 1) × π
    0.0444793701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13973606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551536560058594 × 2 - 1) × π
    -0.103073120117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.323813756933479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13973606} λ = 0.13973606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.323813756933479))-π/2
    2×atan(0.723384955267126)-π/2
    2×0.62624876770108-π/2
    1.25249753540216-1.57079632675     		φ = -0.31829879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13973606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.006286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31829879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.237177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68451 KachelY 72291 0.13973606 -0.31829879 8.006286 -18.237177
    Oben rechts KachelX + 1 68452 KachelY 72291 0.13978400 -0.31829879 8.009033 -18.237177
    Unten links KachelX 68451 KachelY + 1 72292 0.13973606 -0.31834432 8.006286 -18.239786
    Unten rechts KachelX + 1 68452 KachelY + 1 72292 0.13978400 -0.31834432 8.009033 -18.239786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31829879--0.31834432) × R
    4.55300000000158e-05 × 6371000     		dl = 290.071630000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31829879--0.31834432) × R
    4.55300000000158e-05 × 6371000     		dr = 290.071630000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13973606-0.13978400) × cos(-0.31829879) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.949769188004779 × 6371000     		do = 290.083957075536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13973606-0.13978400) × cos(-0.31834432) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.949754938349607 × 6371000     		du = 290.079604864061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31829879)-sin(-0.31834432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949769188004779-0.949754938349607)×R²
    abs(0.13978400-0.13973606)×1.42496551718274e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.42496551718274e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.42496551718274e-05×40589641000000     		ar = 84144.4950537659m²