Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68450 / 43397
↖ ↑ ↗
← N 51.827291°
E  8.003540°		 ← 188.72 m → N 51.827291°
E  8.006286°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
N 51.825593°
E  8.003540°		 ← 188.73 m →
35 627 m²		 N 51.825593°
E  8.006286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522235870361328 y=0.331096649169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522235870361328 × 217)
    floor (0.522235870361328 × 131072)
    floor (68450.5)     		tx = 68450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331096649169922 × 217)
    floor (0.331096649169922 × 131072)
    floor (43397.5)     		ty = 43397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68450 / 43397 ti = "17/68450/43397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68450/43397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68450 ÷ 217
    68450 ÷ 131072     		x = 0.522232055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43397 ÷ 217
    43397 ÷ 131072     		y = 0.331092834472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522232055664062 × 2 - 1) × π
    0.044464111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13968813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331092834472656 × 2 - 1) × π
    0.337814331054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.06127502068842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13968813} λ = 0.13968813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06127502068842))-π/2
    2×atan(2.89005351914575)-π/2
    2×1.23767659781201-π/2
    2.47535319562401-1.57079632675     		φ = 0.90455687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13968813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.003540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90455687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.827291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68450 KachelY 43397 0.13968813 0.90455687 8.003540 51.827291
    Oben rechts KachelX + 1 68451 KachelY 43397 0.13973606 0.90455687 8.006286 51.827291
    Unten links KachelX 68450 KachelY + 1 43398 0.13968813 0.90452724 8.003540 51.825593
    Unten rechts KachelX + 1 68451 KachelY + 1 43398 0.13973606 0.90452724 8.006286 51.825593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90455687-0.90452724) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dl = 188.772730000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90455687-0.90452724) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dr = 188.772730000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13968813-0.13973606) × cos(0.90455687) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.618034007855245 × 6371000     		do = 188.72411924772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13968813-0.13973606) × cos(0.90452724) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.618057301248822 × 6371000     		du = 188.731232165668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90455687)-sin(0.90452724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618034007855245-0.618057301248822)×R²
    abs(0.13973606-0.13968813)×2.32933935770951e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.32933935770951e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.32933935770951e-05×40589641000000     		ar = 35626.6385724177m²