Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6845 / 5331
↖ ↑ ↗
← N 53.080828°
W 29.597168°		 ← 1 467.61 m → N 53.080828°
W 29.575196°		 →
↑
1 467.88 m
↓
↑
1 467.88 m
↓
N 53.067627°
W 29.597168°		 ← 1 468.06 m →
2 154 602 m²		 N 53.067627°
W 29.575196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417816162109375 y=0.325408935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417816162109375 × 214)
    floor (0.417816162109375 × 16384)
    floor (6845.5)     		tx = 6845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325408935546875 × 214)
    floor (0.325408935546875 × 16384)
    floor (5331.5)     		ty = 5331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6845 / 5331 ti = "14/6845/5331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6845/5331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6845 ÷ 214
    6845 ÷ 16384     		x = 0.41778564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5331 ÷ 214
    5331 ÷ 16384     		y = 0.32537841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.1644287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51656803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32537841796875 × 2 - 1) × π
    0.3492431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09717975850385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51656803} λ = -0.51656803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09717975850385))-π/2
    2×atan(2.99570548625186)-π/2
    2×1.24861576705075-π/2
    2.49723153410149-1.57079632675     		φ = 0.92643521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51656803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.597168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92643521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.080828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6845 KachelY 5331 -0.51656803 0.92643521 -29.597168 53.080828
    Oben rechts KachelX + 1 6846 KachelY 5331 -0.51618454 0.92643521 -29.575196 53.080828
    Unten links KachelX 6845 KachelY + 1 5332 -0.51656803 0.92620481 -29.597168 53.067627
    Unten rechts KachelX + 1 6846 KachelY + 1 5332 -0.51618454 0.92620481 -29.575196 53.067627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92643521-0.92620481) × R
    0.000230399999999964 × 6371000     		dl = 1467.87839999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92643521-0.92620481) × R
    0.000230399999999964 × 6371000     		dr = 1467.87839999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51656803--0.51618454) × cos(0.92643521) × R
    0.000383489999999931 × 0.600687784432365 × 6371000     		do = 1467.60927909722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51656803--0.51618454) × cos(0.92620481) × R
    0.000383489999999931 × 0.600871969531578 × 6371000     		du = 1468.05928285572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92643521)-sin(0.92620481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600687784432365-0.600871969531578)×R²
    abs(-0.51618454--0.51656803)×0.000184185099212808×R²
    0.000383489999999931×0.000184185099212808×6371000²
    0.000383489999999931×0.000184185099212808×40589641000000     		ar = 2154602.24535624m²