Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6845 / 1880
↖ ↑ ↗
← N 79.843346°
W 29.597168°		 ← 430.84 m → N 79.843346°
W 29.575196°		 →
↑
430.93 m
↓
↑
430.93 m
↓
N 79.839471°
W 29.597168°		 ← 431 m →
185 697 m²		 N 79.839471°
W 29.575196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417816162109375 y=0.114776611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417816162109375 × 214)
    floor (0.417816162109375 × 16384)
    floor (6845.5)     		tx = 6845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114776611328125 × 214)
    floor (0.114776611328125 × 16384)
    floor (1880.5)     		ty = 1880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6845 / 1880 ti = "14/6845/1880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6845/1880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6845 ÷ 214
    6845 ÷ 16384     		x = 0.41778564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1880 ÷ 214
    1880 ÷ 16384     		y = 0.11474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.1644287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51656803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11474609375 × 2 - 1) × π
    0.7705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42062168321436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51656803} λ = -0.51656803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42062168321436))-π/2
    2×atan(11.2528528505055)-π/2
    2×1.4821628036372-π/2
    2.96432560727441-1.57079632675     		φ = 1.39352928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51656803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.597168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39352928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.843346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6845 KachelY 1880 -0.51656803 1.39352928 -29.597168 79.843346
    Oben rechts KachelX + 1 6846 KachelY 1880 -0.51618454 1.39352928 -29.575196 79.843346
    Unten links KachelX 6845 KachelY + 1 1881 -0.51656803 1.39346164 -29.597168 79.839471
    Unten rechts KachelX + 1 6846 KachelY + 1 1881 -0.51618454 1.39346164 -29.575196 79.839471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39352928-1.39346164) × R
    6.76400000001465e-05 × 6371000     		dl = 430.934440000933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39352928-1.39346164) × R
    6.76400000001465e-05 × 6371000     		dr = 430.934440000933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51656803--0.51618454) × cos(1.39352928) × R
    0.000383489999999931 × 0.176340109410918 × 6371000     		do = 430.836763382896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51656803--0.51618454) × cos(1.39346164) × R
    0.000383489999999931 × 0.176406689041154 × 6371000     		du = 430.999431720201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39352928)-sin(1.39346164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176340109410918-0.176406689041154)×R²
    abs(-0.51618454--0.51656803)×6.65796302357635e-05×R²
    0.000383489999999931×6.65796302357635e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.65796302357635e-05×40589641000000     		ar = 185697.449126152m²