Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68442 / 68946
↖ ↑ ↗
← S  9.324411°
E  7.981567°		 ← 301.39 m → S  9.324411°
E  7.984314°		 →
↑
301.35 m
↓
↑
301.35 m
↓
S  9.327121°
E  7.981567°		 ← 301.39 m →
90 823 m²		 S  9.327121°
E  7.984314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522174835205078 y=0.526020050048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522174835205078 × 217)
    floor (0.522174835205078 × 131072)
    floor (68442.5)     		tx = 68442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526020050048828 × 217)
    floor (0.526020050048828 × 131072)
    floor (68946.5)     		ty = 68946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68442 / 68946 ti = "17/68442/68946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68442/68946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68442 ÷ 217
    68442 ÷ 131072     		x = 0.522171020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68946 ÷ 217
    68946 ÷ 131072     		y = 0.526016235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522171020507812 × 2 - 1) × π
    0.044342041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13930463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526016235351562 × 2 - 1) × π
    -0.052032470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.163464827704391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13930463} λ = 0.13930463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.163464827704391))-π/2
    2×atan(0.849196366661962)-π/2
    2×0.704027328624604-π/2
    1.40805465724921-1.57079632675     		φ = -0.16274167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13930463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.981567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16274167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.324411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68442 KachelY 68946 0.13930463 -0.16274167 7.981567 -9.324411
    Oben rechts KachelX + 1 68443 KachelY 68946 0.13935257 -0.16274167 7.984314 -9.324411
    Unten links KachelX 68442 KachelY + 1 68947 0.13930463 -0.16278897 7.981567 -9.327121
    Unten rechts KachelX + 1 68443 KachelY + 1 68947 0.13935257 -0.16278897 7.984314 -9.327121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16274167--0.16278897) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dl = 301.348300000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16274167--0.16278897) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dr = 301.348300000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13930463-0.13935257) × cos(-0.16274167) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986786775605132 × 6371000     		do = 301.390081161388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13930463-0.13935257) × cos(-0.16278897) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986779110753968 × 6371000     		du = 301.38774011855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16274167)-sin(-0.16278897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986786775605132-0.986779110753968)×R²
    abs(0.13935257-0.13930463)×7.66485116399096e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.66485116399096e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.66485116399096e-06×40589641000000     		ar = 90823.0358771493m²