Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6844 / 5332
↖ ↑ ↗
← N 53.067627°
W 29.619141°		 ← 1 468.10 m → N 53.067627°
W 29.597168°		 →
↑
1 468.32 m
↓
↑
1 468.32 m
↓
N 53.054422°
W 29.619141°		 ← 1 468.55 m →
2 155 974 m²		 N 53.054422°
W 29.597168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417755126953125 y=0.325469970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417755126953125 × 214)
    floor (0.417755126953125 × 16384)
    floor (6844.5)     		tx = 6844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325469970703125 × 214)
    floor (0.325469970703125 × 16384)
    floor (5332.5)     		ty = 5332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6844 / 5332 ti = "14/6844/5332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6844/5332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6844 ÷ 214
    6844 ÷ 16384     		x = 0.417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5332 ÷ 214
    5332 ÷ 16384     		y = 0.325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325439453125 × 2 - 1) × π
    0.34912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09679626330688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51695153} λ = -0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09679626330688))-π/2
    2×atan(2.99455686784527)-π/2
    2×1.24850056895239-π/2
    2.49700113790478-1.57079632675     		φ = 0.92620481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92620481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.067627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6844 KachelY 5332 -0.51695153 0.92620481 -29.619141 53.067627
    Oben rechts KachelX + 1 6845 KachelY 5332 -0.51656803 0.92620481 -29.597168 53.067627
    Unten links KachelX 6844 KachelY + 1 5333 -0.51695153 0.92597434 -29.619141 53.054422
    Unten rechts KachelX + 1 6845 KachelY + 1 5333 -0.51656803 0.92597434 -29.597168 53.054422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92620481-0.92597434) × R
    0.000230469999999983 × 6371000     		dl = 1468.32436999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92620481-0.92597434) × R
    0.000230469999999983 × 6371000     		dr = 1468.32436999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51695153--0.51656803) × cos(0.92620481) × R
    0.000383500000000092 × 0.600871969531578 × 6371000     		do = 1468.09756440951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51695153--0.51656803) × cos(0.92597434) × R
    0.000383500000000092 × 0.601056178678483 × 6371000     		du = 1468.54763865765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92620481)-sin(0.92597434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600871969531578-0.601056178678483)×R²
    abs(-0.51656803--0.51695153)×0.000184209146904979×R²
    0.000383500000000092×0.000184209146904979×6371000²
    0.000383500000000092×0.000184209146904979×40589641000000     		ar = 2155973.86839742m²