Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6844 / 1596
↖ ↑ ↗
← N 80.886759°
W 29.619141°		 ← 386.98 m → N 80.886759°
W 29.597168°		 →
↑
387.10 m
↓
↑
387.10 m
↓
N 80.883277°
W 29.619141°		 ← 387.13 m →
149 830 m²		 N 80.883277°
W 29.597168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417755126953125 y=0.097442626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417755126953125 × 214)
    floor (0.417755126953125 × 16384)
    floor (6844.5)     		tx = 6844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.097442626953125 × 214)
    floor (0.097442626953125 × 16384)
    floor (1596.5)     		ty = 1596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6844 / 1596 ti = "14/6844/1596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6844/1596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6844 ÷ 214
    6844 ÷ 16384     		x = 0.417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1596 ÷ 214
    1596 ÷ 16384     		y = 0.097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097412109375 × 2 - 1) × π
    0.80517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52953431915112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51695153} λ = -0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52953431915112))-π/2
    2×atan(12.5476615702311)-π/2
    2×1.49126829132748-π/2
    2.98253658265495-1.57079632675     		φ = 1.41174026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41174026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.886759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6844 KachelY 1596 -0.51695153 1.41174026 -29.619141 80.886759
    Oben rechts KachelX + 1 6845 KachelY 1596 -0.51656803 1.41174026 -29.597168 80.886759
    Unten links KachelX 6844 KachelY + 1 1597 -0.51695153 1.41167950 -29.619141 80.883277
    Unten rechts KachelX + 1 6845 KachelY + 1 1597 -0.51656803 1.41167950 -29.597168 80.883277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41174026-1.41167950) × R
    6.0759999999993e-05 × 6371000     		dl = 387.101959999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41174026-1.41167950) × R
    6.0759999999993e-05 × 6371000     		dr = 387.101959999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51695153--0.51656803) × cos(1.41174026) × R
    0.000383500000000092 × 0.158386259161825 × 6371000     		do = 386.981741705608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51695153--0.51656803) × cos(1.41167950) × R
    0.000383500000000092 × 0.158446251909876 × 6371000     		du = 387.128320697077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41174026)-sin(1.41167950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158386259161825-0.158446251909876)×R²
    abs(-0.51656803--0.51695153)×5.99927480509632e-05×R²
    0.000383500000000092×5.99927480509632e-05×6371000²
    0.000383500000000092×5.99927480509632e-05×40589641000000     		ar = 149829.761250883m²