Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68435 / 72645
↖ ↑ ↗
← S 19.158141°
E  7.962341°		 ← 288.51 m → S 19.158141°
E  7.965088°		 →
↑
288.48 m
↓
↑
288.48 m
↓
S 19.160735°
E  7.962341°		 ← 288.51 m →
83 228 m²		 S 19.160735°
E  7.965088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522121429443359 y=0.554241180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522121429443359 × 217)
    floor (0.522121429443359 × 131072)
    floor (68435.5)     		tx = 68435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554241180419922 × 217)
    floor (0.554241180419922 × 131072)
    floor (72645.5)     		ty = 72645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68435 / 72645 ti = "17/68435/72645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68435/72645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68435 ÷ 217
    68435 ÷ 131072     		x = 0.522117614746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72645 ÷ 217
    72645 ÷ 131072     		y = 0.554237365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522117614746094 × 2 - 1) × π
    0.0442352294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13896907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554237365722656 × 2 - 1) × π
    -0.108474731445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.340783419398979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13896907} λ = 0.13896907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.340783419398979))-π/2
    2×atan(0.71121292645019)-π/2
    2×0.618211843563139-π/2
    1.23642368712628-1.57079632675     		φ = -0.33437264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13896907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.962341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33437264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.158141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68435 KachelY 72645 0.13896907 -0.33437264 7.962341 -19.158141
    Oben rechts KachelX + 1 68436 KachelY 72645 0.13901701 -0.33437264 7.965088 -19.158141
    Unten links KachelX 68435 KachelY + 1 72646 0.13896907 -0.33441792 7.962341 -19.160735
    Unten rechts KachelX + 1 68436 KachelY + 1 72646 0.13901701 -0.33441792 7.965088 -19.160735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33437264--0.33441792) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dl = 288.478879999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33437264--0.33441792) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dr = 288.478879999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13896907-0.13901701) × cos(-0.33437264) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944616380394758 × 6371000     		do = 288.510156998168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13896907-0.13901701) × cos(-0.33441792) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944601519589048 × 6371000     		du = 288.505618125587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33437264)-sin(-0.33441792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944616380394758-0.944601519589048)×R²
    abs(0.13901701-0.13896907)×1.48608057100041e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.48608057100041e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.48608057100041e-05×40589641000000     		ar = 83228.4322891662m²