Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68433 / 72403
↖ ↑ ↗
← S 18.529096°
E  7.956848°		 ← 289.59 m → S 18.529096°
E  7.959595°		 →
↑
289.63 m
↓
↑
289.63 m
↓
S 18.531701°
E  7.956848°		 ← 289.59 m →
83 873 m²		 S 18.531701°
E  7.959595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522106170654297 y=0.552394866943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522106170654297 × 217)
    floor (0.522106170654297 × 131072)
    floor (68433.5)     		tx = 68433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552394866943359 × 217)
    floor (0.552394866943359 × 131072)
    floor (72403.5)     		ty = 72403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68433 / 72403 ti = "17/68433/72403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68433/72403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68433 ÷ 217
    68433 ÷ 131072     		x = 0.522102355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72403 ÷ 217
    72403 ÷ 131072     		y = 0.552391052246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522102355957031 × 2 - 1) × π
    0.0442047119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13887320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552391052246094 × 2 - 1) × π
    -0.104782104492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.329182689690926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13887320} λ = 0.13887320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.329182689690926))-π/2
    2×atan(0.719511557395269)-π/2
    2×0.623701296033309-π/2
    1.24740259206662-1.57079632675     		φ = -0.32339373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13887320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.956848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32339373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.529096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68433 KachelY 72403 0.13887320 -0.32339373 7.956848 -18.529096
    Oben rechts KachelX + 1 68434 KachelY 72403 0.13892114 -0.32339373 7.959595 -18.529096
    Unten links KachelX 68433 KachelY + 1 72404 0.13887320 -0.32343919 7.956848 -18.531701
    Unten rechts KachelX + 1 68434 KachelY + 1 72404 0.13892114 -0.32343919 7.959595 -18.531701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32339373--0.32343919) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dl = 289.625659999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32339373--0.32343919) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dr = 289.625659999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13887320-0.13892114) × cos(-0.32339373) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948162399799594 × 6371000     		do = 289.593202598944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13887320-0.13892114) × cos(-0.32343919) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948147952259584 × 6371000     		du = 289.588789948346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32339373)-sin(-0.32343919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948162399799594-0.948147952259584)×R²
    abs(0.13892114-0.13887320)×1.44475400093436e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44475400093436e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44475400093436e-05×40589641000000     		ar = 83872.9834402381m²