Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68433 / 68555
↖ ↑ ↗
← S  8.263137°
E  7.956848°		 ← 302.25 m → S  8.263137°
E  7.959595°		 →
↑
302.24 m
↓
↑
302.24 m
↓
S  8.265855°
E  7.956848°		 ← 302.25 m →
91 353 m²		 S  8.265855°
E  7.959595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522106170654297 y=0.523036956787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522106170654297 × 217)
    floor (0.522106170654297 × 131072)
    floor (68433.5)     		tx = 68433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523036956787109 × 217)
    floor (0.523036956787109 × 131072)
    floor (68555.5)     		ty = 68555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68433 / 68555 ti = "17/68433/68555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68433/68555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68433 ÷ 217
    68433 ÷ 131072     		x = 0.522102355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68555 ÷ 217
    68555 ÷ 131072     		y = 0.523033142089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522102355957031 × 2 - 1) × π
    0.0442047119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13887320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523033142089844 × 2 - 1) × π
    -0.0460662841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.14472149995295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13887320} λ = 0.13887320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.14472149995295))-π/2
    2×atan(0.865263235409736)-π/2
    2×0.713288689855517-π/2
    1.42657737971103-1.57079632675     		φ = -0.14421895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13887320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.956848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14421895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.263137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68433 KachelY 68555 0.13887320 -0.14421895 7.956848 -8.263137
    Oben rechts KachelX + 1 68434 KachelY 68555 0.13892114 -0.14421895 7.959595 -8.263137
    Unten links KachelX 68433 KachelY + 1 68556 0.13887320 -0.14426639 7.956848 -8.265855
    Unten rechts KachelX + 1 68434 KachelY + 1 68556 0.13892114 -0.14426639 7.959595 -8.265855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14421895--0.14426639) × R
    4.74399999999819e-05 × 6371000     		dl = 302.240239999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14421895--0.14426639) × R
    4.74399999999819e-05 × 6371000     		dr = 302.240239999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13887320-0.13892114) × cos(-0.14421895) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989618459854514 × 6371000     		do = 302.254950418702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13887320-0.13892114) × cos(-0.14426639) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989611640686317 × 6371000     		du = 302.252867669209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14421895)-sin(-0.14426639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989618459854514-0.989611640686317)×R²
    abs(0.13892114-0.13887320)×6.81916819622597e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.81916819622597e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.81916819622597e-06×40589641000000     		ar = 91353.2940274456m²