Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68432 / 72752
↖ ↑ ↗
← S 19.435515°
E  7.954101°		 ← 288.02 m → S 19.435515°
E  7.956848°		 →
↑
287.97 m
↓
↑
287.97 m
↓
S 19.438104°
E  7.954101°		 ← 288.02 m →
82 941 m²		 S 19.438104°
E  7.956848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522098541259766 y=0.555057525634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522098541259766 × 217)
    floor (0.522098541259766 × 131072)
    floor (68432.5)     		tx = 68432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555057525634766 × 217)
    floor (0.555057525634766 × 131072)
    floor (72752.5)     		ty = 72752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68432 / 72752 ti = "17/68432/72752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68432/72752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68432 ÷ 217
    68432 ÷ 131072     		x = 0.5220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72752 ÷ 217
    72752 ÷ 131072     		y = 0.5550537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5220947265625 × 2 - 1) × π
    0.044189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13882526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5550537109375 × 2 - 1) × π
    -0.110107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.345912667658325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13882526} λ = 0.13882526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.345912667658325))-π/2
    2×atan(0.70757427852692)-π/2
    2×0.615791304884197-π/2
    1.23158260976839-1.57079632675     		φ = -0.33921372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13882526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.954101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33921372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.435515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68432 KachelY 72752 0.13882526 -0.33921372 7.954101 -19.435515
    Oben rechts KachelX + 1 68433 KachelY 72752 0.13887320 -0.33921372 7.956848 -19.435515
    Unten links KachelX 68432 KachelY + 1 72753 0.13882526 -0.33925892 7.954101 -19.438104
    Unten rechts KachelX + 1 68433 KachelY + 1 72753 0.13887320 -0.33925892 7.956848 -19.438104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33921372--0.33925892) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dl = 287.969200000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33921372--0.33925892) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dr = 287.969200000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13882526-0.13887320) × cos(-0.33921372) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943016588309602 × 6371000     		do = 288.021539316714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13882526-0.13887320) × cos(-0.33925892) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943001547239753 × 6371000     		du = 288.016945386824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33921372)-sin(-0.33925892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943016588309602-0.943001547239753)×R²
    abs(0.13887320-0.13882526)×1.50410698488423e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.50410698488423e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.50410698488423e-05×40589641000000     		ar = 82940.6708188324m²