Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68427 / 43724
↖ ↑ ↗
← N 51.268789°
E  7.940369°		 ← 191.06 m → N 51.268789°
E  7.943115°		 →
↑
191.07 m
↓
↑
191.07 m
↓
N 51.267071°
E  7.940369°		 ← 191.06 m →
36 505 m²		 N 51.267071°
E  7.943115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522060394287109 y=0.333591461181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522060394287109 × 217)
    floor (0.522060394287109 × 131072)
    floor (68427.5)     		tx = 68427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333591461181641 × 217)
    floor (0.333591461181641 × 131072)
    floor (43724.5)     		ty = 43724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68427 / 43724 ti = "17/68427/43724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68427/43724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68427 ÷ 217
    68427 ÷ 131072     		x = 0.522056579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43724 ÷ 217
    43724 ÷ 131072     		y = 0.333587646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522056579589844 × 2 - 1) × π
    0.0441131591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13858558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333587646484375 × 2 - 1) × π
    0.33282470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04559965451266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13858558} λ = 0.13858558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04559965451266))-π/2
    2×atan(2.84510409173247)-π/2
    2×1.23280275054453-π/2
    2.46560550108907-1.57079632675     		φ = 0.89480917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13858558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.940369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89480917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.268789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68427 KachelY 43724 0.13858558 0.89480917 7.940369 51.268789
    Oben rechts KachelX + 1 68428 KachelY 43724 0.13863351 0.89480917 7.943115 51.268789
    Unten links KachelX 68427 KachelY + 1 43725 0.13858558 0.89477918 7.940369 51.267071
    Unten rechts KachelX + 1 68428 KachelY + 1 43725 0.13863351 0.89477918 7.943115 51.267071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89480917-0.89477918) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dl = 191.066290000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89480917-0.89477918) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dr = 191.066290000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13858558-0.13863351) × cos(0.89480917) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.625667692299678 × 6371000     		do = 191.055156625941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13858558-0.13863351) × cos(0.89477918) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.625691086908391 × 6371000     		du = 191.062300451148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89480917)-sin(0.89477918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625667692299678-0.625691086908391)×R²
    abs(0.13863351-0.13858558)×2.33946087130343e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33946087130343e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33946087130343e-05×40589641000000     		ar = 36504.8824367566m²