Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68426 / 72623
↖ ↑ ↗
← S 19.101053°
E  7.937622°		 ← 288.61 m → S 19.101053°
E  7.940369°		 →
↑
288.61 m
↓
↑
288.61 m
↓
S 19.103648°
E  7.937622°		 ← 288.61 m →
83 294 m²		 S 19.103648°
E  7.940369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522052764892578 y=0.554073333740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522052764892578 × 217)
    floor (0.522052764892578 × 131072)
    floor (68426.5)     		tx = 68426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554073333740234 × 217)
    floor (0.554073333740234 × 131072)
    floor (72623.5)     		ty = 72623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68426 / 72623 ti = "17/68426/72623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68426/72623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68426 ÷ 217
    68426 ÷ 131072     		x = 0.522048950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72623 ÷ 217
    72623 ÷ 131072     		y = 0.554069519042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522048950195312 × 2 - 1) × π
    0.044097900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13853764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554069519042969 × 2 - 1) × π
    -0.108139038085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.339728807607338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13853764} λ = 0.13853764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.339728807607338))-π/2
    2×atan(0.711963375635518)-π/2
    2×0.618710031473637-π/2
    1.23742006294727-1.57079632675     		φ = -0.33337626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13853764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.937622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33337626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.101053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68426 KachelY 72623 0.13853764 -0.33337626 7.937622 -19.101053
    Oben rechts KachelX + 1 68427 KachelY 72623 0.13858558 -0.33337626 7.940369 -19.101053
    Unten links KachelX 68426 KachelY + 1 72624 0.13853764 -0.33342156 7.937622 -19.103648
    Unten rechts KachelX + 1 68427 KachelY + 1 72624 0.13858558 -0.33342156 7.940369 -19.103648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33337626--0.33342156) × R
    4.53000000000259e-05 × 6371000     		dl = 288.606300000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33337626--0.33342156) × R
    4.53000000000259e-05 × 6371000     		dr = 288.606300000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13853764-0.13858558) × cos(-0.33337626) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.944942900066422 × 6371000     		do = 288.609884510678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13853764-0.13858558) × cos(-0.33342156) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.944928075339579 × 6371000     		du = 288.605356657512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33337626)-sin(-0.33342156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944942900066422-0.944928075339579)×R²
    abs(0.13858558-0.13853764)×1.4824726842555e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.4824726842555e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.4824726842555e-05×40589641000000     		ar = 83293.9775428506m²