Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68422 / 69550
↖ ↑ ↗
← S 10.957371°
E  7.926636°		 ← 299.86 m → S 10.957371°
E  7.929382°		 →
↑
299.82 m
↓
↑
299.82 m
↓
S 10.960068°
E  7.926636°		 ← 299.85 m →
89 903 m²		 S 10.960068°
E  7.929382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522022247314453 y=0.530628204345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522022247314453 × 217)
    floor (0.522022247314453 × 131072)
    floor (68422.5)     		tx = 68422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530628204345703 × 217)
    floor (0.530628204345703 × 131072)
    floor (69550.5)     		ty = 69550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68422 / 69550 ti = "17/68422/69550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68422/69550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68422 ÷ 217
    68422 ÷ 131072     		x = 0.522018432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69550 ÷ 217
    69550 ÷ 131072     		y = 0.530624389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522018432617188 × 2 - 1) × π
    0.044036865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13834589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530624389648438 × 2 - 1) × π
    -0.061248779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.192418715074905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13834589} λ = 0.13834589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.192418715074905))-π/2
    2×atan(0.82496137240168)-π/2
    2×0.689777060230356-π/2
    1.37955412046071-1.57079632675     		φ = -0.19124221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13834589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.926636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19124221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.957371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68422 KachelY 69550 0.13834589 -0.19124221 7.926636 -10.957371
    Oben rechts KachelX + 1 68423 KachelY 69550 0.13839383 -0.19124221 7.929382 -10.957371
    Unten links KachelX 68422 KachelY + 1 69551 0.13834589 -0.19128927 7.926636 -10.960068
    Unten rechts KachelX + 1 68423 KachelY + 1 69551 0.13839383 -0.19128927 7.929382 -10.960068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19124221--0.19128927) × R
    4.70600000000154e-05 × 6371000     		dl = 299.819260000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19124221--0.19128927) × R
    4.70600000000154e-05 × 6371000     		dr = 299.819260000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13834589-0.13839383) × cos(-0.19124221) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981768875111436 × 6371000     		do = 299.857485189855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13834589-0.13839383) × cos(-0.19128927) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98175992892518 × 6371000     		du = 299.854752794298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19124221)-sin(-0.19128927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981768875111436-0.98175992892518)×R²
    abs(0.13839383-0.13834589)×8.94618625524313e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.94618625524313e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.94618625524313e-06×40589641000000     		ar = 89902.6397193397m²