Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68422 / 43726
↖ ↑ ↗
← N 51.265352°
E  7.926636°		 ← 191.11 m → N 51.265352°
E  7.929382°		 →
↑
191.13 m
↓
↑
191.13 m
↓
N 51.263633°
E  7.926636°		 ← 191.12 m →
36 527 m²		 N 51.263633°
E  7.929382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522022247314453 y=0.333606719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522022247314453 × 217)
    floor (0.522022247314453 × 131072)
    floor (68422.5)     		tx = 68422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333606719970703 × 217)
    floor (0.333606719970703 × 131072)
    floor (43726.5)     		ty = 43726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68422 / 43726 ti = "17/68422/43726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68422/43726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68422 ÷ 217
    68422 ÷ 131072     		x = 0.522018432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43726 ÷ 217
    43726 ÷ 131072     		y = 0.333602905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522018432617188 × 2 - 1) × π
    0.044036865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13834589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333602905273438 × 2 - 1) × π
    0.332794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04550378071342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13834589} λ = 0.13834589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04550378071342))-π/2
    2×atan(2.84483133386934)-π/2
    2×1.23277275685375-π/2
    2.4655455137075-1.57079632675     		φ = 0.89474919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13834589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.926636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89474919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.265352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68422 KachelY 43726 0.13834589 0.89474919 7.926636 51.265352
    Oben rechts KachelX + 1 68423 KachelY 43726 0.13839383 0.89474919 7.929382 51.265352
    Unten links KachelX 68422 KachelY + 1 43727 0.13834589 0.89471919 7.926636 51.263633
    Unten rechts KachelX + 1 68423 KachelY + 1 43727 0.13839383 0.89471919 7.929382 51.263633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89474919-0.89471919) × R
    2.99999999999745e-05 × 6371000     		dl = 191.129999999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89474919-0.89471919) × R
    2.99999999999745e-05 × 6371000     		dr = 191.129999999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13834589-0.13839383) × cos(0.89474919) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.625714480954357 × 6371000     		do = 191.109308374186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13834589-0.13839383) × cos(0.89471919) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.62573788223789 × 6371000     		du = 191.116455728526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89474919)-sin(0.89471919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625714480954357-0.62573788223789)×R²
    abs(0.13839383-0.13834589)×2.34012835327313e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34012835327313e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34012835327313e-05×40589641000000     		ar = 36527.4051492115m²