Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68421 / 69548
↖ ↑ ↗
← S 10.951978°
E  7.923889°		 ← 299.80 m → S 10.951978°
E  7.926636°		 →
↑
299.82 m
↓
↑
299.82 m
↓
S 10.954675°
E  7.923889°		 ← 299.80 m →
89 886 m²		 S 10.954675°
E  7.926636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522014617919922 y=0.530612945556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522014617919922 × 217)
    floor (0.522014617919922 × 131072)
    floor (68421.5)     		tx = 68421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530612945556641 × 217)
    floor (0.530612945556641 × 131072)
    floor (69548.5)     		ty = 69548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68421 / 69548 ti = "17/68421/69548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68421/69548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68421 ÷ 217
    68421 ÷ 131072     		x = 0.522010803222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69548 ÷ 217
    69548 ÷ 131072     		y = 0.530609130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522010803222656 × 2 - 1) × π
    0.0440216064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13829796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530609130859375 × 2 - 1) × π
    -0.06121826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.192322841275665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13829796} λ = 0.13829796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.192322841275665))-π/2
    2×atan(0.825040468374234)-π/2
    2×0.689824123615166-π/2
    1.37964824723033-1.57079632675     		φ = -0.19114808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13829796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.923889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19114808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.951978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68421 KachelY 69548 0.13829796 -0.19114808 7.923889 -10.951978
    Oben rechts KachelX + 1 68422 KachelY 69548 0.13834589 -0.19114808 7.926636 -10.951978
    Unten links KachelX 68421 KachelY + 1 69549 0.13829796 -0.19119514 7.923889 -10.954675
    Unten rechts KachelX + 1 68422 KachelY + 1 69549 0.13834589 -0.19119514 7.926636 -10.954675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19114808--0.19119514) × R
    4.70600000000154e-05 × 6371000     		dl = 299.819260000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19114808--0.19119514) × R
    4.70600000000154e-05 × 6371000     		dr = 299.819260000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13829796-0.13834589) × cos(-0.19114808) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981786762860984 × 6371000     		do = 299.800398934369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13829796-0.13834589) × cos(-0.19119514) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981777821023747 × 6371000     		du = 299.797668436798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19114808)-sin(-0.19119514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981786762860984-0.981777821023747)×R²
    abs(0.13834589-0.13829796)×8.94183723720854e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.94183723720854e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.94183723720854e-06×40589641000000     		ar = 89885.5244449355m²