Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68419 / 72389
↖ ↑ ↗
← S 18.492633°
E  7.918396°		 ← 289.65 m → S 18.492633°
E  7.921143°		 →
↑
289.63 m
↓
↑
289.63 m
↓
S 18.495238°
E  7.918396°		 ← 289.65 m →
83 891 m²		 S 18.495238°
E  7.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521999359130859 y=0.552288055419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521999359130859 × 217)
    floor (0.521999359130859 × 131072)
    floor (68419.5)     		tx = 68419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552288055419922 × 217)
    floor (0.552288055419922 × 131072)
    floor (72389.5)     		ty = 72389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68419 / 72389 ti = "17/68419/72389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68419/72389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68419 ÷ 217
    68419 ÷ 131072     		x = 0.521995544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72389 ÷ 217
    72389 ÷ 131072     		y = 0.552284240722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521995544433594 × 2 - 1) × π
    0.0439910888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13820208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552284240722656 × 2 - 1) × π
    -0.104568481445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.328511573096245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13820208} λ = 0.13820208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328511573096245))-π/2
    2×atan(0.719994595610853)-π/2
    2×0.624019493701864-π/2
    1.24803898740373-1.57079632675     		φ = -0.32275734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13820208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.918396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32275734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.492633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68419 KachelY 72389 0.13820208 -0.32275734 7.918396 -18.492633
    Oben rechts KachelX + 1 68420 KachelY 72389 0.13825002 -0.32275734 7.921143 -18.492633
    Unten links KachelX 68419 KachelY + 1 72390 0.13820208 -0.32280280 7.918396 -18.495238
    Unten rechts KachelX + 1 68420 KachelY + 1 72390 0.13825002 -0.32280280 7.921143 -18.495238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32275734--0.32280280) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dl = 289.625659999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32275734--0.32280280) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dr = 289.625659999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13820208-0.13825002) × cos(-0.32275734) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948364443741253 × 6371000     		do = 289.654912019338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13820208-0.13825002) × cos(-0.32280280) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948350023634571 × 6371000     		du = 289.650507747584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32275734)-sin(-0.32280280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948364443741253-0.948350023634571)×R²
    abs(0.13825002-0.13820208)×1.4420106681956e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.4420106681956e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.4420106681956e-05×40589641000000     		ar = 83890.8572852386m²