Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68419 / 69588
↖ ↑ ↗
← S 11.059821°
E  7.918396°		 ← 299.75 m → S 11.059821°
E  7.921143°		 →
↑
299.69 m
↓
↑
299.69 m
↓
S 11.062516°
E  7.918396°		 ← 299.75 m →
89 833 m²		 S 11.062516°
E  7.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521999359130859 y=0.530918121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521999359130859 × 217)
    floor (0.521999359130859 × 131072)
    floor (68419.5)     		tx = 68419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530918121337891 × 217)
    floor (0.530918121337891 × 131072)
    floor (69588.5)     		ty = 69588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68419 / 69588 ti = "17/68419/69588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68419/69588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68419 ÷ 217
    68419 ÷ 131072     		x = 0.521995544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69588 ÷ 217
    69588 ÷ 131072     		y = 0.530914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521995544433594 × 2 - 1) × π
    0.0439910888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13820208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.06182861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.194240317260468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13820208} λ = 0.13820208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.194240317260468))-π/2
    2×atan(0.82345998883966)-π/2
    2×0.688883019330633-π/2
    1.37776603866127-1.57079632675     		φ = -0.19303029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13820208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.918396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19303029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.059821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68419 KachelY 69588 0.13820208 -0.19303029 7.918396 -11.059821
    Oben rechts KachelX + 1 68420 KachelY 69588 0.13825002 -0.19303029 7.921143 -11.059821
    Unten links KachelX 68419 KachelY + 1 69589 0.13820208 -0.19307733 7.918396 -11.062516
    Unten rechts KachelX + 1 68420 KachelY + 1 69589 0.13825002 -0.19307733 7.921143 -11.062516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19303029--0.19307733) × R
    4.70399999999982e-05 × 6371000     		dl = 299.691839999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19303029--0.19307733) × R
    4.70399999999982e-05 × 6371000     		dr = 299.691839999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13820208-0.13825002) × cos(-0.19303029) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98142743007146 × 6371000     		do = 299.753199085851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13820208-0.13825002) × cos(-0.19307733) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981418405124577 × 6371000     		du = 299.750442634771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19303029)-sin(-0.19307733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98142743007146-0.981418405124577)×R²
    abs(0.13825002-0.13820208)×9.02494688381772e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.02494688381772e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.02494688381772e-06×40589641000000     		ar = 89833.1747535176m²