Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68417 / 72391
↖ ↑ ↗
← S 18.497843°
E  7.912903°		 ← 289.59 m → S 18.497843°
E  7.915649°		 →
↑
289.63 m
↓
↑
289.63 m
↓
S 18.500447°
E  7.912903°		 ← 289.58 m →
83 871 m²		 S 18.500447°
E  7.915649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521984100341797 y=0.552303314208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521984100341797 × 217)
    floor (0.521984100341797 × 131072)
    floor (68417.5)     		tx = 68417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552303314208984 × 217)
    floor (0.552303314208984 × 131072)
    floor (72391.5)     		ty = 72391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68417 / 72391 ti = "17/68417/72391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68417/72391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68417 ÷ 217
    68417 ÷ 131072     		x = 0.521980285644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72391 ÷ 217
    72391 ÷ 131072     		y = 0.552299499511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521980285644531 × 2 - 1) × π
    0.0439605712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13810621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552299499511719 × 2 - 1) × π
    -0.104598999023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.328607446895485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13810621} λ = 0.13810621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328607446895485))-π/2
    2×atan(0.719925570302451)-π/2
    2×0.623974032742001-π/2
    1.247948065484-1.57079632675     		φ = -0.32284826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13810621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.912903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32284826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.497843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68417 KachelY 72391 0.13810621 -0.32284826 7.912903 -18.497843
    Oben rechts KachelX + 1 68418 KachelY 72391 0.13815414 -0.32284826 7.915649 -18.497843
    Unten links KachelX 68417 KachelY + 1 72392 0.13810621 -0.32289372 7.912903 -18.500447
    Unten rechts KachelX + 1 68418 KachelY + 1 72392 0.13815414 -0.32289372 7.915649 -18.500447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32284826--0.32289372) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dl = 289.625659999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32284826--0.32289372) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dr = 289.625659999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13810621-0.13815414) × cos(-0.32284826) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.948335601568018 × 6371000     		do = 289.585684416091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13810621-0.13815414) × cos(-0.32289372) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.948321177541623 × 6371000     		du = 289.58127986611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32284826)-sin(-0.32289372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948335601568018-0.948321177541623)×R²
    abs(0.13815414-0.13810621)×1.44240263945106e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.44240263945106e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.44240263945106e-05×40589641000000     		ar = 83870.807154592m²