Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68417 / 68545
↖ ↑ ↗
← S  8.235955°
E  7.912903°		 ← 302.21 m → S  8.235955°
E  7.915649°		 →
↑
302.24 m
↓
↑
302.24 m
↓
S  8.238674°
E  7.912903°		 ← 302.21 m →
91 341 m²		 S  8.238674°
E  7.915649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521984100341797 y=0.522960662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521984100341797 × 217)
    floor (0.521984100341797 × 131072)
    floor (68417.5)     		tx = 68417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522960662841797 × 217)
    floor (0.522960662841797 × 131072)
    floor (68545.5)     		ty = 68545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68417 / 68545 ti = "17/68417/68545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68417/68545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68417 ÷ 217
    68417 ÷ 131072     		x = 0.521980285644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68545 ÷ 217
    68545 ÷ 131072     		y = 0.522956848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521980285644531 × 2 - 1) × π
    0.0439605712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13810621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522956848144531 × 2 - 1) × π
    -0.0459136962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.144242130956749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13810621} λ = 0.13810621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144242130956749))-π/2
    2×atan(0.865678115210656)-π/2
    2×0.713525894221547-π/2
    1.42705178844309-1.57079632675     		φ = -0.14374454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13810621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.912903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14374454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.235955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68417 KachelY 68545 0.13810621 -0.14374454 7.912903 -8.235955
    Oben rechts KachelX + 1 68418 KachelY 68545 0.13815414 -0.14374454 7.915649 -8.235955
    Unten links KachelX 68417 KachelY + 1 68546 0.13810621 -0.14379198 7.912903 -8.238674
    Unten rechts KachelX + 1 68418 KachelY + 1 68546 0.13815414 -0.14379198 7.915649 -8.238674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14374454--0.14379198) × R
    4.74400000000097e-05 × 6371000     		dl = 302.240240000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14374454--0.14379198) × R
    4.74400000000097e-05 × 6371000     		dr = 302.240240000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13810621-0.13815414) × cos(-0.14374454) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989686530471031 × 6371000     		do = 302.212688008301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13810621-0.13815414) × cos(-0.14379198) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989679733575888 × 6371000     		du = 302.210612494602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14374454)-sin(-0.14379198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989686530471031-0.989679733575888)×R²
    abs(0.13815414-0.13810621)×6.7968951431574e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.7968951431574e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.7968951431574e-06×40589641000000     		ar = 91340.5217199246m²