Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68417 / 68538
↖ ↑ ↗
← S  8.216927°
E  7.912903°		 ← 302.23 m → S  8.216927°
E  7.915649°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
S  8.219646°
E  7.912903°		 ← 302.23 m →
91 364 m²		 S  8.219646°
E  7.915649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521984100341797 y=0.522907257080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521984100341797 × 217)
    floor (0.521984100341797 × 131072)
    floor (68417.5)     		tx = 68417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522907257080078 × 217)
    floor (0.522907257080078 × 131072)
    floor (68538.5)     		ty = 68538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68417 / 68538 ti = "17/68417/68538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68417/68538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68417 ÷ 217
    68417 ÷ 131072     		x = 0.521980285644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68538 ÷ 217
    68538 ÷ 131072     		y = 0.522903442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521980285644531 × 2 - 1) × π
    0.0439605712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13810621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522903442382812 × 2 - 1) × π
    -0.045806884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.143906572659409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13810621} λ = 0.13810621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.143906572659409))-π/2
    2×atan(0.865968649427898)-π/2
    2×0.713691946973008-π/2
    1.42738389394602-1.57079632675     		φ = -0.14341243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13810621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.912903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14341243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.216927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68417 KachelY 68538 0.13810621 -0.14341243 7.912903 -8.216927
    Oben rechts KachelX + 1 68418 KachelY 68538 0.13815414 -0.14341243 7.915649 -8.216927
    Unten links KachelX 68417 KachelY + 1 68539 0.13810621 -0.14345988 7.912903 -8.219646
    Unten rechts KachelX + 1 68418 KachelY + 1 68539 0.13815414 -0.14345988 7.915649 -8.219646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14341243--0.14345988) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dl = 302.303950000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14341243--0.14345988) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dr = 302.303950000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13810621-0.13815414) × cos(-0.14341243) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989734050658225 × 6371000     		do = 302.227198869129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13810621-0.13815414) × cos(-0.14345988) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989727267926527 × 6371000     		du = 302.225127680408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14341243)-sin(-0.14345988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989734050658225-0.989727267926527)×R²
    abs(0.13815414-0.13810621)×6.78273169851806e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.78273169851806e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.78273169851806e-06×40589641000000     		ar = 91364.1629684548m²