Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68414 / 72383
↖ ↑ ↗
← S 18.477004°
E  7.904663°		 ← 289.62 m → S 18.477004°
E  7.907409°		 →
↑
289.63 m
↓
↑
289.63 m
↓
S 18.479609°
E  7.904663°		 ← 289.62 m →
83 881 m²		 S 18.479609°
E  7.907409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521961212158203 y=0.552242279052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521961212158203 × 217)
    floor (0.521961212158203 × 131072)
    floor (68414.5)     		tx = 68414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552242279052734 × 217)
    floor (0.552242279052734 × 131072)
    floor (72383.5)     		ty = 72383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68414 / 72383 ti = "17/68414/72383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68414/72383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68414 ÷ 217
    68414 ÷ 131072     		x = 0.521957397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72383 ÷ 217
    72383 ÷ 131072     		y = 0.552238464355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521957397460938 × 2 - 1) × π
    0.043914794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13796240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552238464355469 × 2 - 1) × π
    -0.104476928710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.328223951698524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13796240} λ = 0.13796240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328223951698524))-π/2
    2×atan(0.72020171124681)-π/2
    2×0.624155884874918-π/2
    1.24831176974984-1.57079632675     		φ = -0.32248456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13796240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.904663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32248456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.477004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68414 KachelY 72383 0.13796240 -0.32248456 7.904663 -18.477004
    Oben rechts KachelX + 1 68415 KachelY 72383 0.13801033 -0.32248456 7.907409 -18.477004
    Unten links KachelX 68414 KachelY + 1 72384 0.13796240 -0.32253002 7.904663 -18.479609
    Unten rechts KachelX + 1 68415 KachelY + 1 72384 0.13801033 -0.32253002 7.907409 -18.479609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32248456--0.32253002) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dl = 289.625659999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32248456--0.32253002) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dr = 289.625659999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13796240-0.13801033) × cos(-0.32248456) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.948450929560863 × 6371000     		do = 289.620901205934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13796240-0.13801033) × cos(-0.32253002) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.948436521214896 × 6371000     		du = 289.61650144416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32248456)-sin(-0.32253002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948450929560863-0.948436521214896)×R²
    abs(0.13801033-0.13796240)×1.44083459669986e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.44083459669986e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.44083459669986e-05×40589641000000     		ar = 83881.0075340667m²