Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68406 / 72398
↖ ↑ ↗
← S 18.516075°
E  7.882690°		 ← 289.62 m → S 18.516075°
E  7.885437°		 →
↑
289.56 m
↓
↑
289.56 m
↓
S 18.518679°
E  7.882690°		 ← 289.61 m →
83 861 m²		 S 18.518679°
E  7.885437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521900177001953 y=0.552356719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521900177001953 × 217)
    floor (0.521900177001953 × 131072)
    floor (68406.5)     		tx = 68406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552356719970703 × 217)
    floor (0.552356719970703 × 131072)
    floor (72398.5)     		ty = 72398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68406 / 72398 ti = "17/68406/72398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68406/72398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68406 ÷ 217
    68406 ÷ 131072     		x = 0.521896362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72398 ÷ 217
    72398 ÷ 131072     		y = 0.552352905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521896362304688 × 2 - 1) × π
    0.043792724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13757890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552352905273438 × 2 - 1) × π
    -0.104705810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.328943005192825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13757890} λ = 0.13757890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328943005192825))-π/2
    2×atan(0.719684033830919)-π/2
    2×0.623814930274223-π/2
    1.24762986054845-1.57079632675     		φ = -0.32316647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13757890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.882690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32316647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.516075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68406 KachelY 72398 0.13757890 -0.32316647 7.882690 -18.516075
    Oben rechts KachelX + 1 68407 KachelY 72398 0.13762684 -0.32316647 7.885437 -18.516075
    Unten links KachelX 68406 KachelY + 1 72399 0.13757890 -0.32321192 7.882690 -18.518679
    Unten rechts KachelX + 1 68407 KachelY + 1 72399 0.13762684 -0.32321192 7.885437 -18.518679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32316647--0.32321192) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dl = 289.561950000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32316647--0.32321192) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dr = 289.561950000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13757890-0.13762684) × cos(-0.32316647) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948234595403965 × 6371000     		do = 289.615252994834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13757890-0.13762684) × cos(-0.32321192) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.948220160836085 × 6371000     		du = 289.610844306258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32316647)-sin(-0.32321192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948234595403965-0.948220160836085)×R²
    abs(0.13762684-0.13757890)×1.44345678799729e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.44345678799729e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.44345678799729e-05×40589641000000     		ar = 83860.9191272073m²