Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68406 / 68501
↖ ↑ ↗
← S  8.116334°
E  7.882690°		 ← 302.37 m → S  8.116334°
E  7.885437°		 →
↑
302.37 m
↓
↑
302.37 m
↓
S  8.119053°
E  7.882690°		 ← 302.36 m →
91 426 m²		 S  8.119053°
E  7.885437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521900177001953 y=0.522624969482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521900177001953 × 217)
    floor (0.521900177001953 × 131072)
    floor (68406.5)     		tx = 68406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522624969482422 × 217)
    floor (0.522624969482422 × 131072)
    floor (68501.5)     		ty = 68501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68406 / 68501 ti = "17/68406/68501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68406/68501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68406 ÷ 217
    68406 ÷ 131072     		x = 0.521896362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68501 ÷ 217
    68501 ÷ 131072     		y = 0.522621154785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521896362304688 × 2 - 1) × π
    0.043792724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13757890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522621154785156 × 2 - 1) × π
    -0.0452423095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.142132907373466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13757890} λ = 0.13757890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.142132907373466))-π/2
    2×atan(0.867505950886203)-π/2
    2×0.714569786244806-π/2
    1.42913957248961-1.57079632675     		φ = -0.14165675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13757890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.882690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14165675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.116334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68406 KachelY 68501 0.13757890 -0.14165675 7.882690 -8.116334
    Oben rechts KachelX + 1 68407 KachelY 68501 0.13762684 -0.14165675 7.885437 -8.116334
    Unten links KachelX 68406 KachelY + 1 68502 0.13757890 -0.14170421 7.882690 -8.119053
    Unten rechts KachelX + 1 68407 KachelY + 1 68502 0.13762684 -0.14170421 7.885437 -8.119053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14165675--0.14170421) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dl = 302.367659999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14165675--0.14170421) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dr = 302.367659999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13757890-0.13762684) × cos(-0.14165675) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989983449280909 × 6371000     		do = 302.366427584351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13757890-0.13762684) × cos(-0.14170421) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989976747598825 × 6371000     		du = 302.364380718141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14165675)-sin(-0.14170421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989983449280909-0.989976747598825)×R²
    abs(0.13762684-0.13757890)×6.70168208383171e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.70168208383171e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.70168208383171e-06×40589641000000     		ar = 91425.5197353058m²