Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68405 / 69171
↖ ↑ ↗
← S  9.933682°
E  7.879944°		 ← 300.78 m → S  9.933682°
E  7.882690°		 →
↑
300.84 m
↓
↑
300.84 m
↓
S  9.936388°
E  7.879944°		 ← 300.78 m →
90 487 m²		 S  9.936388°
E  7.882690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521892547607422 y=0.527736663818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521892547607422 × 217)
    floor (0.521892547607422 × 131072)
    floor (68405.5)     		tx = 68405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527736663818359 × 217)
    floor (0.527736663818359 × 131072)
    floor (69171.5)     		ty = 69171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68405 / 69171 ti = "17/68405/69171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68405/69171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68405 ÷ 217
    68405 ÷ 131072     		x = 0.521888732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69171 ÷ 217
    69171 ÷ 131072     		y = 0.527732849121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521888732910156 × 2 - 1) × π
    0.0437774658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13753097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527732849121094 × 2 - 1) × π
    -0.0554656982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.174250630118904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13753097} λ = 0.13753097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174250630118904))-π/2
    2×atan(0.840086320336668)-π/2
    2×0.69871043252345-π/2
    1.3974208650469-1.57079632675     		φ = -0.17337546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13753097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.879944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17337546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.933682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68405 KachelY 69171 0.13753097 -0.17337546 7.879944 -9.933682
    Oben rechts KachelX + 1 68406 KachelY 69171 0.13757890 -0.17337546 7.882690 -9.933682
    Unten links KachelX 68405 KachelY + 1 69172 0.13753097 -0.17342268 7.879944 -9.936388
    Unten rechts KachelX + 1 68406 KachelY + 1 69172 0.13757890 -0.17342268 7.882690 -9.936388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17337546--0.17342268) × R
    4.72199999999867e-05 × 6371000     		dl = 300.838619999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17337546--0.17342268) × R
    4.72199999999867e-05 × 6371000     		dr = 300.838619999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13753097-0.13757890) × cos(-0.17337546) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985008085003875 × 6371000     		do = 300.784068403206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13753097-0.13757890) × cos(-0.17342268) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984999938069426 × 6371000     		du = 300.781580638764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17337546)-sin(-0.17342268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985008085003875-0.984999938069426)×R²
    abs(0.13757890-0.13753097)×8.14693444928238e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.14693444928238e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.14693444928238e-06×40589641000000     		ar = 90487.0898653778m²