Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68401 / 72687
↖ ↑ ↗
← S 19.267072°
E  7.868958°		 ← 288.26 m → S 19.267072°
E  7.871704°		 →
↑
288.35 m
↓
↑
288.35 m
↓
S 19.269666°
E  7.868958°		 ← 288.25 m →
83 119 m²		 S 19.269666°
E  7.871704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521862030029297 y=0.554561614990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521862030029297 × 217)
    floor (0.521862030029297 × 131072)
    floor (68401.5)     		tx = 68401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554561614990234 × 217)
    floor (0.554561614990234 × 131072)
    floor (72687.5)     		ty = 72687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68401 / 72687 ti = "17/68401/72687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68401/72687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68401 ÷ 217
    68401 ÷ 131072     		x = 0.521858215332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72687 ÷ 217
    72687 ÷ 131072     		y = 0.554557800292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521858215332031 × 2 - 1) × π
    0.0437164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13733922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554557800292969 × 2 - 1) × π
    -0.109115600585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.342796769183022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13733922} λ = 0.13733922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.342796769183022))-π/2
    2×atan(0.709782446569706)-π/2
    2×0.617261236627158-π/2
    1.23452247325432-1.57079632675     		φ = -0.33627385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13733922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.868958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33627385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.267072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68401 KachelY 72687 0.13733922 -0.33627385 7.868958 -19.267072
    Oben rechts KachelX + 1 68402 KachelY 72687 0.13738715 -0.33627385 7.871704 -19.267072
    Unten links KachelX 68401 KachelY + 1 72688 0.13733922 -0.33631911 7.868958 -19.269666
    Unten rechts KachelX + 1 68402 KachelY + 1 72688 0.13738715 -0.33631911 7.871704 -19.269666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33627385--0.33631911) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dl = 288.351459999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33627385--0.33631911) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dr = 288.351459999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13733922-0.13738715) × cos(-0.33627385) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.94399074089458 × 6371000     		do = 288.258928940782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13733922-0.13738715) × cos(-0.33631911) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.943975805397719 × 6371000     		du = 288.254368207142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33627385)-sin(-0.33631911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94399074089458-0.943975805397719)×R²
    abs(0.13738715-0.13733922)×1.4935496860824e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.4935496860824e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.4935496860824e-05×40589641000000     		ar = 83119.225485138m²