Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6840 / 5338
↖ ↑ ↗
← N 52.988337°
W 29.707031°		 ← 1 470.80 m → N 52.988337°
W 29.685059°		 →
↑
1 471 m
↓
↑
1 471 m
↓
N 52.975108°
W 29.707031°		 ← 1 471.25 m →
2 163 877 m²		 N 52.975108°
W 29.685059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417510986328125 y=0.325836181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417510986328125 × 214)
    floor (0.417510986328125 × 16384)
    floor (6840.5)     		tx = 6840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325836181640625 × 214)
    floor (0.325836181640625 × 16384)
    floor (5338.5)     		ty = 5338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6840 / 5338 ti = "14/6840/5338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6840/5338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6840 ÷ 214
    6840 ÷ 16384     		x = 0.41748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5338 ÷ 214
    5338 ÷ 16384     		y = 0.3258056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3258056640625 × 2 - 1) × π
    0.348388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09449529212512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51848551} λ = -0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09449529212512))-π/2
    2×atan(2.98767440000687)-π/2
    2×1.24780863850249-π/2
    2.49561727700498-1.57079632675     		φ = 0.92482095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92482095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.988337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6840 KachelY 5338 -0.51848551 0.92482095 -29.707031 52.988337
    Oben rechts KachelX + 1 6841 KachelY 5338 -0.51810201 0.92482095 -29.685059 52.988337
    Unten links KachelX 6840 KachelY + 1 5339 -0.51848551 0.92459006 -29.707031 52.975108
    Unten rechts KachelX + 1 6841 KachelY + 1 5339 -0.51810201 0.92459006 -29.685059 52.975108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92482095-0.92459006) × R
    0.000230889999999984 × 6371000     		dl = 1471.0001899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92482095-0.92459006) × R
    0.000230889999999984 × 6371000     		dr = 1471.0001899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51848551--0.51810201) × cos(0.92482095) × R
    0.000383499999999981 × 0.601977575781921 × 6371000     		do = 1470.79886839002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51848551--0.51810201) × cos(0.92459006) × R
    0.000383499999999981 × 0.602161928399216 × 6371000     		du = 1471.24929317627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92482095)-sin(0.92459006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601977575781921-0.602161928399216)×R²
    abs(-0.51810201--0.51848551)×0.000184352617294992×R²
    0.000383499999999981×0.000184352617294992×6371000²
    0.000383499999999981×0.000184352617294992×40589641000000     		ar = 2163876.71193997m²