Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 684 / 444
↖ ↑ ↗
← N 80.238500°
W119.882812°		 ← 1 656.98 m → N 80.238500°
W119.794922°		 →
↑
1 658.24 m
↓
↑
1 658.24 m
↓
N 80.223588°
W119.882812°		 ← 1 659.49 m →
2 749 761 m²		 N 80.223588°
W119.794922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1671142578125 y=0.1085205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1671142578125 × 212)
    floor (0.1671142578125 × 4096)
    floor (684.5)     		tx = 684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1085205078125 × 212)
    floor (0.1085205078125 × 4096)
    floor (444.5)     		ty = 444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 684 / 444 ti = "12/684/444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/684/444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 684 ÷ 212
    684 ÷ 4096     		x = 0.1669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 444 ÷ 212
    444 ÷ 4096     		y = 0.1083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1669921875 × 2 - 1) × π
    -0.666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09234979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1083984375 × 2 - 1) × π
    0.783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46050518369824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09234979} λ = -2.09234979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46050518369824))-π/2
    2×atan(11.7107261138092)-π/2
    2×1.48561117409006-π/2
    2.97122234818012-1.57079632675     		φ = 1.40042602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09234979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.882812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40042602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.238500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 684 KachelY 444 -2.09234979 1.40042602 -119.882812 80.238500
    Oben rechts KachelX + 1 685 KachelY 444 -2.09081581 1.40042602 -119.794922 80.238500
    Unten links KachelX 684 KachelY + 1 445 -2.09234979 1.40016574 -119.882812 80.223588
    Unten rechts KachelX + 1 685 KachelY + 1 445 -2.09081581 1.40016574 -119.794922 80.223588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40042602-1.40016574) × R
    0.000260280000000002 × 6371000     		dl = 1658.24388000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40042602-1.40016574) × R
    0.000260280000000002 × 6371000     		dr = 1658.24388000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09234979--2.09081581) × cos(1.40042602) × R
    0.00153398000000005 × 0.169547306195044 × 6371000     		do = 1656.98354811936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09234979--2.09081581) × cos(1.40016574) × R
    0.00153398000000005 × 0.169803812128263 × 6371000     		du = 1659.49037716241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40042602)-sin(1.40016574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169547306195044-0.169803812128263)×R²
    abs(-2.09081581--2.09234979)×0.000256505933219353×R²
    0.00153398000000005×0.000256505933219353×6371000²
    0.00153398000000005×0.000256505933219353×40589641000000     		ar = 2749761.31041455m²