Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68390 / 68534
↖ ↑ ↗
← S  8.206053°
E  7.838745°		 ← 302.30 m → S  8.206053°
E  7.841492°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
S  8.208772°
E  7.838745°		 ← 302.30 m →
91 386 m²		 S  8.208772°
E  7.841492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521778106689453 y=0.522876739501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521778106689453 × 217)
    floor (0.521778106689453 × 131072)
    floor (68390.5)     		tx = 68390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522876739501953 × 217)
    floor (0.522876739501953 × 131072)
    floor (68534.5)     		ty = 68534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68390 / 68534 ti = "17/68390/68534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68390/68534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68390 ÷ 217
    68390 ÷ 131072     		x = 0.521774291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68534 ÷ 217
    68534 ÷ 131072     		y = 0.522872924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521774291992188 × 2 - 1) × π
    0.043548583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13681191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522872924804688 × 2 - 1) × π
    -0.045745849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.143714825060928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13681191} λ = 0.13681191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.143714825060928))-π/2
    2×atan(0.866134712757398)-π/2
    2×0.713786837836301-π/2
    1.4275736756726-1.57079632675     		φ = -0.14322265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13681191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.838745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14322265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.206053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68390 KachelY 68534 0.13681191 -0.14322265 7.838745 -8.206053
    Oben rechts KachelX + 1 68391 KachelY 68534 0.13685985 -0.14322265 7.841492 -8.206053
    Unten links KachelX 68390 KachelY + 1 68535 0.13681191 -0.14327010 7.838745 -8.208772
    Unten rechts KachelX + 1 68391 KachelY + 1 68535 0.13685985 -0.14327010 7.841492 -8.208772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14322265--0.14327010) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dl = 302.303950000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14322265--0.14327010) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dr = 302.303950000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13681191-0.13685985) × cos(-0.14322265) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98976115644631 × 6371000     		do = 302.298533630847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13681191-0.13685985) × cos(-0.14327010) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989754382627318 × 6371000     		du = 302.296464732169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14322265)-sin(-0.14327010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98976115644631-0.989754382627318)×R²
    abs(0.13685985-0.13681191)×6.7738189915012e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.7738189915012e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.7738189915012e-06×40589641000000     		ar = 91385.7280948161m²