Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6839 / 1579
↖ ↑ ↗
← N 80.945731°
W 29.729004°		 ← 384.49 m → N 80.945731°
W 29.707031°		 →
↑
384.62 m
↓
↑
384.62 m
↓
N 80.942273°
W 29.729004°		 ← 384.63 m →
147 909 m²		 N 80.942273°
W 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417449951171875 y=0.096405029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417449951171875 × 214)
    floor (0.417449951171875 × 16384)
    floor (6839.5)     		tx = 6839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.096405029296875 × 214)
    floor (0.096405029296875 × 16384)
    floor (1579.5)     		ty = 1579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6839 / 1579 ti = "14/6839/1579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6839/1579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6839 ÷ 214
    6839 ÷ 16384     		x = 0.41741943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1579 ÷ 214
    1579 ÷ 16384     		y = 0.09637451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41741943359375 × 2 - 1) × π
    -0.1651611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51886900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09637451171875 × 2 - 1) × π
    0.8072509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53605373749945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51886900} λ = -0.51886900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53605373749945))-π/2
    2×atan(12.6297322611988)-π/2
    2×1.49178292622983-π/2
    2.98356585245967-1.57079632675     		φ = 1.41276953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51886900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.729004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41276953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.945731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6839 KachelY 1579 -0.51886900 1.41276953 -29.729004 80.945731
    Oben rechts KachelX + 1 6840 KachelY 1579 -0.51848551 1.41276953 -29.707031 80.945731
    Unten links KachelX 6839 KachelY + 1 1580 -0.51886900 1.41270916 -29.729004 80.942273
    Unten rechts KachelX + 1 6840 KachelY + 1 1580 -0.51848551 1.41270916 -29.707031 80.942273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41276953-1.41270916) × R
    6.03700000001428e-05 × 6371000     		dl = 384.61727000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41276953-1.41270916) × R
    6.03700000001428e-05 × 6371000     		dr = 384.61727000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51886900--0.51848551) × cos(1.41276953) × R
    0.000383490000000042 × 0.157369897683544 × 6371000     		do = 384.488461521265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51886900--0.51848551) × cos(1.41270916) × R
    0.000383490000000042 × 0.157429515170146 × 6371000     		du = 384.634119846272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41276953)-sin(1.41270916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157369897683544-0.157429515170146)×R²
    abs(-0.51848551--0.51886900)×5.96174866013544e-05×R²
    0.000383490000000042×5.96174866013544e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.96174866013544e-05×40589641000000     		ar = 147908.913816649m²