Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68388 / 68494
↖ ↑ ↗
← S  8.097300°
E  7.833252°		 ← 302.32 m → S  8.097300°
E  7.835998°		 →
↑
302.37 m
↓
↑
302.37 m
↓
S  8.100020°
E  7.833252°		 ← 302.32 m →
91 411 m²		 S  8.100020°
E  7.835998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521762847900391 y=0.522571563720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521762847900391 × 217)
    floor (0.521762847900391 × 131072)
    floor (68388.5)     		tx = 68388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522571563720703 × 217)
    floor (0.522571563720703 × 131072)
    floor (68494.5)     		ty = 68494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68388 / 68494 ti = "17/68388/68494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68388/68494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68388 ÷ 217
    68388 ÷ 131072     		x = 0.521759033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68494 ÷ 217
    68494 ÷ 131072     		y = 0.522567749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521759033203125 × 2 - 1) × π
    0.04351806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13671604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522567749023438 × 2 - 1) × π
    -0.045135498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.141797349076126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13671604} λ = 0.13671604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.141797349076126))-π/2
    2×atan(0.86779709855179)-π/2
    2×0.714735888756513-π/2
    1.42947177751303-1.57079632675     		φ = -0.14132455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13671604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.833252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14132455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.097300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68388 KachelY 68494 0.13671604 -0.14132455 7.833252 -8.097300
    Oben rechts KachelX + 1 68389 KachelY 68494 0.13676397 -0.14132455 7.835998 -8.097300
    Unten links KachelX 68388 KachelY + 1 68495 0.13671604 -0.14137201 7.833252 -8.100020
    Unten rechts KachelX + 1 68389 KachelY + 1 68495 0.13676397 -0.14137201 7.835998 -8.100020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14132455--0.14137201) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dl = 302.367659999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14132455--0.14137201) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dr = 302.367659999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13671604-0.13676397) × cos(-0.14132455) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990030295800645 × 6371000     		do = 302.317660887195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13671604-0.13676397) × cos(-0.14137201) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990023609727167 × 6371000     		du = 302.315619214225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14132455)-sin(-0.14137201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990030295800645-0.990023609727167)×R²
    abs(0.13676397-0.13671604)×6.68607347820149e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.68607347820149e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.68607347820149e-06×40589641000000     		ar = 91410.7750483318m²