Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68384 / 68576
↖ ↑ ↗
← S  8.320212°
E  7.822266°		 ← 302.21 m → S  8.320212°
E  7.825012°		 →
↑
302.18 m
↓
↑
302.18 m
↓
S  8.322930°
E  7.822266°		 ← 302.21 m →
91 321 m²		 S  8.322930°
E  7.825012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521732330322266 y=0.523197174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521732330322266 × 217)
    floor (0.521732330322266 × 131072)
    floor (68384.5)     		tx = 68384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523197174072266 × 217)
    floor (0.523197174072266 × 131072)
    floor (68576.5)     		ty = 68576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68384 / 68576 ti = "17/68384/68576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68384/68576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68384 ÷ 217
    68384 ÷ 131072     		x = 0.521728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68576 ÷ 217
    68576 ÷ 131072     		y = 0.523193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521728515625 × 2 - 1) × π
    0.04345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13652429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523193359375 × 2 - 1) × π
    -0.04638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.145728174844971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13652429} λ = 0.13652429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.145728174844971))-π/2
    2×atan(0.864392634915011)-π/2
    2×0.712790613940973-π/2
    1.42558122788195-1.57079632675     		φ = -0.14521510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13652429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14521510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.320212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68384 KachelY 68576 0.13652429 -0.14521510 7.822266 -8.320212
    Oben rechts KachelX + 1 68385 KachelY 68576 0.13657223 -0.14521510 7.825012 -8.320212
    Unten links KachelX 68384 KachelY + 1 68577 0.13652429 -0.14526253 7.822266 -8.322930
    Unten rechts KachelX + 1 68385 KachelY + 1 68577 0.13657223 -0.14526253 7.825012 -8.322930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14521510--0.14526253) × R
    4.74299999999872e-05 × 6371000     		dl = 302.176529999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14521510--0.14526253) × R
    4.74299999999872e-05 × 6371000     		dr = 302.176529999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13652429-0.13657223) × cos(-0.14521510) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989474802659769 × 6371000     		do = 302.211073813691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13652429-0.13657223) × cos(-0.14526253) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989467938175895 × 6371000     		du = 302.208977223624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14521510)-sin(-0.14526253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989474802659769-0.989467938175895)×R²
    abs(0.13657223-0.13652429)×6.86448387388072e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.86448387388072e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.86448387388072e-06×40589641000000     		ar = 91320.7768595277m²