Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68383 / 69147
↖ ↑ ↗
← S  9.868746°
E  7.819519°		 ← 300.91 m → S  9.868746°
E  7.822266°		 →
↑
300.90 m
↓
↑
300.90 m
↓
S  9.871452°
E  7.819519°		 ← 300.90 m →
90 543 m²		 S  9.871452°
E  7.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521724700927734 y=0.527553558349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521724700927734 × 217)
    floor (0.521724700927734 × 131072)
    floor (68383.5)     		tx = 68383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527553558349609 × 217)
    floor (0.527553558349609 × 131072)
    floor (69147.5)     		ty = 69147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68383 / 69147 ti = "17/68383/69147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68383/69147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68383 ÷ 217
    68383 ÷ 131072     		x = 0.521720886230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69147 ÷ 217
    69147 ÷ 131072     		y = 0.527549743652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521720886230469 × 2 - 1) × π
    0.0434417724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13647635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527549743652344 × 2 - 1) × π
    -0.0550994873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.173100144528023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13647635} λ = 0.13647635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173100144528023))-π/2
    2×atan(0.841053383732895)-π/2
    2×0.699277107437939-π/2
    1.39855421487588-1.57079632675     		φ = -0.17224211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13647635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.819519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17224211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.868746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68383 KachelY 69147 0.13647635 -0.17224211 7.819519 -9.868746
    Oben rechts KachelX + 1 68384 KachelY 69147 0.13652429 -0.17224211 7.822266 -9.868746
    Unten links KachelX 68383 KachelY + 1 69148 0.13647635 -0.17228934 7.819519 -9.871452
    Unten rechts KachelX + 1 68384 KachelY + 1 69148 0.13652429 -0.17228934 7.822266 -9.871452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17224211--0.17228934) × R
    4.72300000000092e-05 × 6371000     		dl = 300.902330000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17224211--0.17228934) × R
    4.72300000000092e-05 × 6371000     		dr = 300.902330000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13647635-0.13652429) × cos(-0.17224211) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985202964496222 × 6371000     		do = 300.906344481429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13647635-0.13652429) × cos(-0.17228934) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985194868566861 × 6371000     		du = 300.903871776213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17224211)-sin(-0.17228934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985202964496222-0.985194868566861)×R²
    abs(0.13652429-0.13647635)×8.09592936079628e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.09592936079628e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.09592936079628e-06×40589641000000     		ar = 90543.0481617222m²