Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68382 / 68514
↖ ↑ ↗
← S  8.151680°
E  7.816773°		 ← 302.28 m → S  8.151680°
E  7.819519°		 →
↑
302.37 m
↓
↑
302.37 m
↓
S  8.154400°
E  7.816773°		 ← 302.27 m →
91 398 m²		 S  8.154400°
E  7.819519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521717071533203 y=0.522724151611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521717071533203 × 217)
    floor (0.521717071533203 × 131072)
    floor (68382.5)     		tx = 68382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522724151611328 × 217)
    floor (0.522724151611328 × 131072)
    floor (68514.5)     		ty = 68514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68382 / 68514 ti = "17/68382/68514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68382/68514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68382 ÷ 217
    68382 ÷ 131072     		x = 0.521713256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68514 ÷ 217
    68514 ÷ 131072     		y = 0.522720336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521713256835938 × 2 - 1) × π
    0.043426513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13642842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522720336914062 × 2 - 1) × π
    -0.045440673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.142756087068527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13642842} λ = 0.13642842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.142756087068527))-π/2
    2×atan(0.86696550720652)-π/2
    2×0.714261331042098-π/2
    1.4285226620842-1.57079632675     		φ = -0.14227366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13642842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.816773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14227366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.151680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68382 KachelY 68514 0.13642842 -0.14227366 7.816773 -8.151680
    Oben rechts KachelX + 1 68383 KachelY 68514 0.13647635 -0.14227366 7.819519 -8.151680
    Unten links KachelX 68382 KachelY + 1 68515 0.13642842 -0.14232112 7.816773 -8.154400
    Unten rechts KachelX + 1 68383 KachelY + 1 68515 0.13647635 -0.14232112 7.819519 -8.154400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14227366--0.14232112) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dl = 302.367659999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14227366--0.14232112) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dr = 302.367659999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13642842-0.13647635) × cos(-0.14227366) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989896163413509 × 6371000     		do = 302.276701949171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13642842-0.13647635) × cos(-0.14232112) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989889432747522 × 6371000     		du = 302.274646659342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14227366)-sin(-0.14232112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989896163413509-0.989889432747522)×R²
    abs(0.13647635-0.13642842)×6.73066598710914e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.73066598710914e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.73066598710914e-06×40589641000000     		ar = 91398.3883314328m²