Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68380 / 68511
↖ ↑ ↗
← S  8.143524°
E  7.811279°		 ← 302.35 m → S  8.143524°
E  7.814026°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
S  8.146243°
E  7.811279°		 ← 302.34 m →
91 400 m²		 S  8.146243°
E  7.814026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521701812744141 y=0.522701263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521701812744141 × 217)
    floor (0.521701812744141 × 131072)
    floor (68380.5)     		tx = 68380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522701263427734 × 217)
    floor (0.522701263427734 × 131072)
    floor (68511.5)     		ty = 68511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68380 / 68511 ti = "17/68380/68511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68380/68511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68380 ÷ 217
    68380 ÷ 131072     		x = 0.521697998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68511 ÷ 217
    68511 ÷ 131072     		y = 0.522697448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521697998046875 × 2 - 1) × π
    0.04339599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13633254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522697448730469 × 2 - 1) × π
    -0.0453948974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.142612276369667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13633254} λ = 0.13633254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.142612276369667))-π/2
    2×atan(0.86709019508751)-π/2
    2×0.714332510597066-π/2
    1.42866502119413-1.57079632675     		φ = -0.14213131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13633254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.811279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14213131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.143524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68380 KachelY 68511 0.13633254 -0.14213131 7.811279 -8.143524
    Oben rechts KachelX + 1 68381 KachelY 68511 0.13638048 -0.14213131 7.814026 -8.143524
    Unten links KachelX 68380 KachelY + 1 68512 0.13633254 -0.14217876 7.811279 -8.146243
    Unten rechts KachelX + 1 68381 KachelY + 1 68512 0.13638048 -0.14217876 7.814026 -8.146243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14213131--0.14217876) × R
    4.74499999999767e-05 × 6371000     		dl = 302.303949999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14213131--0.14217876) × R
    4.74499999999767e-05 × 6371000     		dr = 302.303949999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13633254-0.13638048) × cos(-0.14213131) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989916337783653 × 6371000     		do = 302.345930005639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13633254-0.13638048) × cos(-0.14217876) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989909615222384 × 6371000     		du = 302.343876762389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14213131)-sin(-0.14217876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989916337783653-0.989909615222384)×R²
    abs(0.13638048-0.13633254)×6.72256126921233e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.72256126921233e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.72256126921233e-06×40589641000000     		ar = 91400.0585724615m²