Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68380 / 68492
↖ ↑ ↗
← S  8.091862°
E  7.811279°		 ← 302.38 m → S  8.091862°
E  7.814026°		 →
↑
302.37 m
↓
↑
302.37 m
↓
S  8.094581°
E  7.811279°		 ← 302.38 m →
91 431 m²		 S  8.094581°
E  7.814026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521701812744141 y=0.522556304931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521701812744141 × 217)
    floor (0.521701812744141 × 131072)
    floor (68380.5)     		tx = 68380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522556304931641 × 217)
    floor (0.522556304931641 × 131072)
    floor (68492.5)     		ty = 68492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68380 / 68492 ti = "17/68380/68492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68380/68492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68380 ÷ 217
    68380 ÷ 131072     		x = 0.521697998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68492 ÷ 217
    68492 ÷ 131072     		y = 0.522552490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521697998046875 × 2 - 1) × π
    0.04339599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13633254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.04510498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.141701475276886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13633254} λ = 0.13633254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.141701475276886))-π/2
    2×atan(0.867880301545028)-π/2
    2×0.714783348059808-π/2
    1.42956669611962-1.57079632675     		φ = -0.14122963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13633254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.811279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14122963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.091862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68380 KachelY 68492 0.13633254 -0.14122963 7.811279 -8.091862
    Oben rechts KachelX + 1 68381 KachelY 68492 0.13638048 -0.14122963 7.814026 -8.091862
    Unten links KachelX 68380 KachelY + 1 68493 0.13633254 -0.14127709 7.811279 -8.094581
    Unten rechts KachelX + 1 68381 KachelY + 1 68493 0.13638048 -0.14127709 7.814026 -8.094581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14122963--0.14127709) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dl = 302.367659999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14122963--0.14127709) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dr = 302.367659999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13633254-0.13638048) × cos(-0.14122963) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.9900436612576 × 6371000     		do = 302.384817871889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13633254-0.13638048) × cos(-0.14127709) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990036979644128 × 6371000     		du = 302.382777135149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14122963)-sin(-0.14127709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9900436612576-0.990036979644128)×R²
    abs(0.13638048-0.13633254)×6.68161347239238e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.68161347239238e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.68161347239238e-06×40589641000000     		ar = 91431.0812902503m²