Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68377 / 69435
S 10.647112°
E  7.803039°
← 300.17 m → S 10.647112°
E  7.805786°

300.14 m

300.14 m
S 10.649811°
E  7.803039°
← 300.16 m →
90 091 m²
S 10.649811°
E  7.805786°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521678924560547 y=0.529750823974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521678924560547 × 217)
    floor (0.521678924560547 × 131072)
    floor (68377.5)
    tx = 68377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529750823974609 × 217)
    floor (0.529750823974609 × 131072)
    floor (69435.5)
    ty = 69435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68377 / 69435 ti = "17/68377/69435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68377/69435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68377 ÷ 217
    68377 ÷ 131072
    x = 0.521675109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69435 ÷ 217
    69435 ÷ 131072
    y = 0.529747009277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.521675109863281 × 2 - 1) × π
    0.0433502197265625 × 3.1415926535
    Λ = 0.13618873
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.529747009277344 × 2 - 1) × π
    -0.0594940185546875 × 3.1415926535
    Φ = -0.186905971618599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13618873} λ = 0.13618873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.186905971618599))-π/2
    2×atan(0.82952173130421)-π/2
    2×0.692484585279992-π/2
    1.38496917055998-1.57079632675
    φ = -0.18582716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13618873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.803039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18582716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.647112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68377 KachelY 69435 0.13618873 -0.18582716 7.803039 -10.647112
    Oben rechts KachelX + 1 68378 KachelY 69435 0.13623667 -0.18582716 7.805786 -10.647112
    Unten links KachelX 68377 KachelY + 1 69436 0.13618873 -0.18587427 7.803039 -10.649811
    Unten rechts KachelX + 1 68378 KachelY + 1 69436 0.13623667 -0.18587427 7.805786 -10.649811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.18582716--0.18587427) × R
    4.71100000000169e-05 × 6371000
    dl = 300.137810000107m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.18582716--0.18587427) × R
    4.71100000000169e-05 × 6371000
    dr = 300.137810000107m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.13618873-0.13623667) × cos(-0.18582716) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98278376117355 × 6371000
    do = 300.167457516392m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.13618873-0.13623667) × cos(-0.18587427) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98277505606218 × 6371000
    du = 300.16479875131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.18582716)-sin(-0.18587427))×
    abs(λ12)×abs(0.98278376117355-0.98277505606218)×
    abs(0.13623667-0.13618873)×8.70511136985552e-06×
    4.79399999999963e-05×8.70511136985552e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.70511136985552e-06×40589641000000
    ar = 90091.204350961m²