Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68375 / 69433
↖ ↑ ↗
← S 10.641713°
E  7.797547°		 ← 300.11 m → S 10.641713°
E  7.800293°		 →
↑
300.14 m
↓
↑
300.14 m
↓
S 10.644412°
E  7.797547°		 ← 300.11 m →
90 074 m²		 S 10.644412°
E  7.800293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521663665771484 y=0.529735565185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521663665771484 × 217)
    floor (0.521663665771484 × 131072)
    floor (68375.5)     		tx = 68375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529735565185547 × 217)
    floor (0.529735565185547 × 131072)
    floor (69433.5)     		ty = 69433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68375 / 69433 ti = "17/68375/69433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68375/69433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68375 ÷ 217
    68375 ÷ 131072     		x = 0.521659851074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69433 ÷ 217
    69433 ÷ 131072     		y = 0.529731750488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521659851074219 × 2 - 1) × π
    0.0433197021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13609286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529731750488281 × 2 - 1) × π
    -0.0594635009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.186810097819359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13609286} λ = 0.13609286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.186810097819359))-π/2
    2×atan(0.829601264516657)-π/2
    2×0.692531697303724-π/2
    1.38506339460745-1.57079632675     		φ = -0.18573293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13609286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.797547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18573293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.641713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68375 KachelY 69433 0.13609286 -0.18573293 7.797547 -10.641713
    Oben rechts KachelX + 1 68376 KachelY 69433 0.13614079 -0.18573293 7.800293 -10.641713
    Unten links KachelX 68375 KachelY + 1 69434 0.13609286 -0.18578004 7.797547 -10.644412
    Unten rechts KachelX + 1 68376 KachelY + 1 69434 0.13614079 -0.18578004 7.800293 -10.644412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18573293--0.18578004) × R
    4.71100000000169e-05 × 6371000     		dl = 300.137810000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18573293--0.18578004) × R
    4.71100000000169e-05 × 6371000     		dr = 300.137810000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13609286-0.13614079) × cos(-0.18573293) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98280116669951 × 6371000     		do = 300.110159349741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13609286-0.13614079) × cos(-0.18578004) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.982792465950909 × 6371000     		du = 300.107502471485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18573293)-sin(-0.18578004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98280116669951-0.982792465950909)×R²
    abs(0.13614079-0.13609286)×8.70074860115366e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.70074860115366e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.70074860115366e-06×40589641000000     		ar = 90074.0072879032m²