Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68375 / 68507
↖ ↑ ↗
← S  8.132648°
E  7.797547°		 ← 302.29 m → S  8.132648°
E  7.800293°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
S  8.135367°
E  7.797547°		 ← 302.29 m →
91 383 m²		 S  8.135367°
E  7.800293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521663665771484 y=0.522670745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521663665771484 × 217)
    floor (0.521663665771484 × 131072)
    floor (68375.5)     		tx = 68375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522670745849609 × 217)
    floor (0.522670745849609 × 131072)
    floor (68507.5)     		ty = 68507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68375 / 68507 ti = "17/68375/68507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68375/68507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68375 ÷ 217
    68375 ÷ 131072     		x = 0.521659851074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68507 ÷ 217
    68507 ÷ 131072     		y = 0.522666931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521659851074219 × 2 - 1) × π
    0.0433197021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13609286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522666931152344 × 2 - 1) × π
    -0.0453338623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.142420528771187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13609286} λ = 0.13609286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.142420528771187))-π/2
    2×atan(0.867256473491317)-π/2
    2×0.714427418925718-π/2
    1.42885483785144-1.57079632675     		φ = -0.14194149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13609286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.797547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14194149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.132648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68375 KachelY 68507 0.13609286 -0.14194149 7.797547 -8.132648
    Oben rechts KachelX + 1 68376 KachelY 68507 0.13614079 -0.14194149 7.800293 -8.132648
    Unten links KachelX 68375 KachelY + 1 68508 0.13609286 -0.14198894 7.797547 -8.135367
    Unten rechts KachelX + 1 68376 KachelY + 1 68508 0.13614079 -0.14198894 7.800293 -8.135367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14194149--0.14198894) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dl = 302.303950000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14194149--0.14198894) × R
    4.74500000000044e-05 × 6371000     		dr = 302.303950000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13609286-0.13614079) × cos(-0.14194149) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989943208569895 × 6371000     		do = 302.291067753626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13609286-0.13614079) × cos(-0.14198894) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.989936494924852 × 6371000     		du = 302.289017661348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14194149)-sin(-0.14198894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989943208569895-0.989936494924852)×R²
    abs(0.13614079-0.13609286)×6.71364504256644e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.71364504256644e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.71364504256644e-06×40589641000000     		ar = 91383.4739733393m²