Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68373 / 68629
↖ ↑ ↗
← S  8.464222°
E  7.792053°		 ← 302.10 m → S  8.464222°
E  7.794800°		 →
↑
302.05 m
↓
↑
302.05 m
↓
S  8.466939°
E  7.792053°		 ← 302.10 m →
91 248 m²		 S  8.466939°
E  7.794800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521648406982422 y=0.523601531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521648406982422 × 217)
    floor (0.521648406982422 × 131072)
    floor (68373.5)     		tx = 68373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523601531982422 × 217)
    floor (0.523601531982422 × 131072)
    floor (68629.5)     		ty = 68629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68373 / 68629 ti = "17/68373/68629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68373/68629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68373 ÷ 217
    68373 ÷ 131072     		x = 0.521644592285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68629 ÷ 217
    68629 ÷ 131072     		y = 0.523597717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521644592285156 × 2 - 1) × π
    0.0432891845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13599698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523597717285156 × 2 - 1) × π
    -0.0471954345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.148268830524834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13599698} λ = 0.13599698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.148268830524834))-π/2
    2×atan(0.862199298293874)-π/2
    2×0.711533888904909-π/2
    1.42306777780982-1.57079632675     		φ = -0.14772855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13599698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.792053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14772855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.464222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68373 KachelY 68629 0.13599698 -0.14772855 7.792053 -8.464222
    Oben rechts KachelX + 1 68374 KachelY 68629 0.13604492 -0.14772855 7.794800 -8.464222
    Unten links KachelX 68373 KachelY + 1 68630 0.13599698 -0.14777596 7.792053 -8.466939
    Unten rechts KachelX + 1 68374 KachelY + 1 68630 0.13604492 -0.14777596 7.794800 -8.466939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14772855--0.14777596) × R
    4.74100000000255e-05 × 6371000     		dl = 302.049110000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14772855--0.14777596) × R
    4.74100000000255e-05 × 6371000     		dr = 302.049110000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13599698-0.13604492) × cos(-0.14772855) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.989107968116433 × 6371000     		do = 302.09903310201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13599698-0.13604492) × cos(-0.14777596) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.989100988641355 × 6371000     		du = 302.096901390669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14772855)-sin(-0.14777596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989107968116433-0.989100988641355)×R²
    abs(0.13604492-0.13599698)×6.97947507732888e-06×R²
    4.79400000000241e-05×6.97947507732888e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×6.97947507732888e-06×40589641000000     		ar = 91248.422156658m²