Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68372 / 69301
↖ ↑ ↗
← S 10.285194°
E  7.789307°		 ← 300.46 m → S 10.285194°
E  7.792053°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
S 10.287896°
E  7.789307°		 ← 300.45 m →
90 273 m²		 S 10.287896°
E  7.792053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521640777587891 y=0.528728485107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521640777587891 × 217)
    floor (0.521640777587891 × 131072)
    floor (68372.5)     		tx = 68372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528728485107422 × 217)
    floor (0.528728485107422 × 131072)
    floor (69301.5)     		ty = 69301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68372 / 69301 ti = "17/68372/69301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68372/69301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68372 ÷ 217
    68372 ÷ 131072     		x = 0.521636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69301 ÷ 217
    69301 ÷ 131072     		y = 0.528724670410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521636962890625 × 2 - 1) × π
    0.04327392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13594905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528724670410156 × 2 - 1) × π
    -0.0574493408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.180482427069511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13594905} λ = 0.13594905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.180482427069511))-π/2
    2×atan(0.834867351633975)-π/2
    2×0.695642915733591-π/2
    1.39128583146718-1.57079632675     		φ = -0.17951050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13594905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.789307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17951050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.285194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68372 KachelY 69301 0.13594905 -0.17951050 7.789307 -10.285194
    Oben rechts KachelX + 1 68373 KachelY 69301 0.13599698 -0.17951050 7.792053 -10.285194
    Unten links KachelX 68372 KachelY + 1 69302 0.13594905 -0.17955766 7.789307 -10.287896
    Unten rechts KachelX + 1 68373 KachelY + 1 69302 0.13599698 -0.17955766 7.792053 -10.287896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17951050--0.17955766) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dl = 300.456360000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17951050--0.17955766) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dr = 300.456360000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13594905-0.13599698) × cos(-0.17951050) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983931209891299 × 6371000     		do = 300.455231632773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13594905-0.13599698) × cos(-0.17955766) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983922788475321 × 6371000     		du = 300.452660052095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17951050)-sin(-0.17955766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983931209891299-0.983922788475321)×R²
    abs(0.13599698-0.13594905)×8.42141597834356e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.42141597834356e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.42141597834356e-06×40589641000000     		ar = 90273.2989321866m²